Question

Высота CH прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, делит треугольник на два меньших. Докажите, что треугольники AHC, CHB и ACB подобны между собой.

Answer 1

Чтобы доказать подобие треугольников AHC, CHB и ACB, мы должны убедиться, что их соответствующие углы равны и что соотношение длин их сторон одинаково.

1. Доказательство равенства углов:
- Угол ACH является прямым углом, так как это высота прямоугольного треугольника ABC и она перпендикулярна к основанию AB.
- Угол BHC также является прямым углом, так как это высота прямоугольного треугольника ABC и она перпендикулярна к основанию AB.
- Угол ACB является прямым углом, так как это угол прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB.
Таким образом, все три треугольника имеют прямые углы ACH, BHC и ACB, следовательно, углы AHC, CHB и ACB равны.

2. Доказательство равенства отношений сторон:
У нас есть два меньших треугольника: AHC и CHB. Они оба включают высоту CH, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти соотношение между их сторонами.

В треугольнике AHC:
AH^2 + CH^2 = AC^2 (теорема Пифагора)
В треугольнике CHB:
CH^2 + BH^2 = CB^2 (теорема Пифагора)

Так как CH^2 появляется в обоих уравнениях, мы можем сократить его и получить:
AH^2 = AC^2 - CH^2
BH^2 = CB^2 - CH^2

Таким образом, соотношение между сторонами треугольников AHC и CHB такое же:
AH^2 = AC^2 - CH^2 = BH^2 = CB^2 - CH^2

Также, из равенства углов AHC и CHB, мы можем сделать вывод, что соотношение между сторонами треугольников AHC и CHB также равно:
AC/AH = CH/CB

Таким образом, мы доказали, что соотношение длин сторон и равенство углов треугольников AHC, CHB и ACB одинаковы. Следовательно, эти треугольники подобны.