Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

$r_1=cos\varphi\ \ ,\ \ r_2=2cos\varphi \ \ \ ,\ \ \ \ S=\dfrac{1}{2}\int\limits^{a}_{b}\, r^2(\varphi )\, d\varphi \\\\\\\displaystyle S=S_2-S_1=\frac{1}{2}\int\limits^{2\pi }_04cos^2\varphi\, d\varphi-\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi }cos^2\varphi \, d\varphi =\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi }\, 3cos^2\varphi \, d\varphi =$

$\displaystyle =\frac{3}{2}\int\limits_0^{2\pi }\frac{1+cos2\varphi }{2}\, d\varphi =\frac{3}{4}\int\limits_0^{2\pi }(1+cos2\varphi )\, d\varphi =\dfrac{3}{4}\cdot \Big(\varphi +\frac{1}{2}\cdot sin2\varphi \Big)\Big|_0^{2\pi }=\\\\\\=\frac{3}{4}\cdot \Big(2\pi +\frac{1}{2}\cdot sin2\pi -0-\frac{1}{2}\cdot sin0\Big)=\frac{3\cdot 2\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$