Question

"Комплексные числа" 1. Найти значение корня: $\sqrt 3 - i$
2. Записать в алгебраической форме: $z = e3\pi/6i-2$

Answer 1

1. Найдем значение корня комплексного числа $\sqrt 3 - i$.
Для этого мы можем представить данное число в алгебраической форме и затем использовать формулу для нахождения корня! Таким образом, пусть $z = \sqrt 3 - i$.

Теперь запишем это комплексное число в алгебраической форме:
$z = a + bi$, где a - вещественная часть (Re), b - мнимая часть (Im).
В нашем случае a = $\sqrt 3$, b = -1.

Теперь применим формулу для нахождения корня комплексного числа:
$w = \pm \sqrt a + bi$.

Подставляя значения a и b:
w = $\sqrt{3} / 2$ + $i$·(-1) = $\sqrt{3} / 2$ - i.

Таким образом, значение корня комплексного числа $\sqrt 3 - i$ равно $\sqrt{3} / 2$ - i.

2. Запишем число $z = e3\pi/6i-2$ в алгебраической форме.
Для этого нам необходимо использовать формулу Эйлера, где e - экспонента, и заданное число записывается как z = e^(θi), где θ - угол в радианах.

Итак, в нашем случае, z = e^(3π/6i-2).
Для начала, запишем e^(3π/6i) в тригонометрической форме:

e^(3π/6i) = cos(3π/6) + isin(3π/6).

Рассчитаем это:
cos(3π/6) = cos(π/2) = 0
sin(3π/6) = sin(π/2) = 1.

Тогда e^(3π/6i) = 0 + i = i.

Теперь представим число -2 в алгебраической форме: -2 - 0i.

Итак, z = e^(3π/6i-2) = i - 2.

Таким образом, число $z = e3\pi/6i-2$ записывается в алгебраической форме как i - 2.