а) Поскольку проекция прямой BD_1 на плоскость ABCD — прямая BD\perp AC, то и BD_1\perp AC. Аналогично BD_1\perp AB_1 (надо рассмотреть плоскость ABB_1A_1). Значит, BD_1 перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости AB_1C, поэтому BD_1\perp AB_1C.
б) Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях лежит точка B, поэтому прямая пересечения у этих плоскостей BD_1. Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников ABD_1 и CBD_1) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем AC= корень из 2,
AH= дробь: числитель: 2S_ABD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: AB умножить на AD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби .
Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.
2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби косинус \angle AHC, откуда\angle AHC=120 в степени o , а угол между плоскостями — 60 в степени o .
а) Поскольку проекция прямой BD_1 на плоскость ABCD — прямая BD\perp AC, то и BD_1\perp AC. Аналогично BD_1\perp AB_1 (надо рассмотреть плоскость ABB_1A_1). Значит, BD_1 перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости AB_1C, поэтому BD_1\perp AB_1C.
б) Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях лежит точка B, поэтому прямая пересечения у этих плоскостей BD_1. Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников ABD_1 и CBD_1) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем AC= корень из 2,
AH= дробь: числитель: 2S_ABD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: AB умножить на AD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби .
Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.
2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби косинус \angle AHC, откуда\angle AHC=120 в степени o , а угол между плоскостями — 60 в степени o .
ответ: 60 в степени o .