Question

А) Через А обозначим множество всех прямоугольников с периметром, равным 1; через В – множество всех точек плоскости. Каждому прямоугольнику из А ставят в соответствие точку пересечения его диагоналей. Является ли это соответствие взаимно однозначным? б) Изобразить на координатной плоскости заданное множество:

{(x,y) R2: (x2-1)(y+2)=0}

Answer 1

а) Для того чтобы определить, является ли соответствие между прямоугольниками из множества А и точками плоскости В взаимно однозначным, нужно проверить, выполняется ли для каждой точки плоскости В только одно соответствующее ей прямоугольник из А.

Пусть у нас есть точка (x, y) плоскости. Чтобы найти прямоугольник из множества А, соответствующий этой точке, нужно найти его диагонали.

Диагонали прямоугольника можно найти, зная его стороны. Пусть a и b – стороны прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен 2a + 2b = 1. Можно выразить одну переменную через другую: например, a = (1 - 2b) / 2.

Теперь, зная сторону a, можно найти длину диагонали прямоугольника через теорему Пифагора: d = √(a² + b²).

Таким образом, мы получаем формулы для выражения сторон и диагоналей прямоугольника через переменные x и y: a = (1 - 2b) / 2 и d = √((1 - 2b)² / 4 + b²).

Теперь, чтобы проверить, есть ли для каждой точки (x, y) только один прямоугольник из А, нужно решить следующую систему уравнений:

(x, y) = (d, b)

a = (1 - 2b) / 2

d = √((1 - 2b)² / 4 + b²)

При этом, x и y должны быть в интервале от 0 до 1, так как периметр прямоугольника должен быть равен 1.

Решив данную систему уравнений, можно проверить, есть ли для каждой точки только одно соответствующее ей прямоугольник. Если да, то соответствие будет взаимно однозначным, если нет – не будет.

б) Чтобы изобразить заданное множество на координатной плоскости, нужно найти все такие значения (x, y), которые удовлетворяют уравнению (x² - 1)(y + 2) = 0.

Решим это уравнение:

(x² - 1)(y + 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то либо (x² - 1) = 0, либо (y + 2) = 0.

Решим каждое уравнение отдельно:

1) (x² - 1) = 0

Для этого нужно найти такие значения x, которые удовлетворяют данному уравнению. Решая это уравнение, найдем два значения x: -1 и 1.

2) (y + 2) = 0

Для этого нужно найти такие значения y, которые удовлетворяют данному уравнению. Решая это уравнение, найдем одно значение y: -2.

Таким образом, у нас есть три точки, которые принадлежат заданному множеству: (-1, -2), (1, -2) и (0, -2).

На координатной плоскости эти точки можно изобразить следующим образом:

^
|
-2| ● ○
|
| ●
-1| ●
|
|__________________>
-2 -1 0 1 2 3 4

Где ● – это точки (-1, -2) и (1, -2), а ○ – это точка (0, -2).