Question

Найдите работу, совершаемую силой ... при перемещении материальной точки вдоль кривой Г y = x2 Началом пути является точка А(-1; 1), конец пути – точка В(0; 0)

Answer 1

Для нахождения работы, совершаемой силой при перемещении материальной точки вдоль кривой Г y = x^2, нужно использовать формулу для работы силы:

W = ∫ F·ds,

где W - работа, F - сила, s - перемещение точки. Так как сила постоянна и направлена вдоль кривой Г, для удобства можно разделить работу на несколько частей и интегрировать каждую часть по отдельности.

Заметим, что кривая Г является параболой с вершиной в точке (0, 0). На отрезке AB материальная точка перемещается от точки A (-1, 1) до точки B (0, 0) вдоль параболы Г.

Для нахождения перемещения точки и интегрирования, можно использовать параметрическое представление параболы Г. Параметрическое уравнение параболы Г следующее:

x = t,
y = t^2,

где t - параметр для задания координат точек на параболе.

На отрезке AB, параметр t меняется от -1 до 0.

1. Найдем параметрические координаты точки A:
Подставим t = -1 в параметрическое уравнение параболы:
x = -1,
y = (-1)^2 = 1.

Таким образом, координаты точки A равны (-1, 1).

2. Найдем параметрические координаты точки B:
Подставим t = 0 в параметрическое уравнение параболы:
x = 0,
y = 0^2 = 0.

Таким образом, координаты точки B равны (0, 0).

3. Найдем разность параметрических координат точек B и A:
Δx = x_B - x_A = 0 - (-1) = 1,
Δy = y_B - y_A = 0 - 1 = -1.

Таким образом, перемещение точки от точки A до точки B равно Δs = √(Δx^2 + Δy^2) = √(1^2 + (-1)^2) = √2.

4. Теперь рассмотрим работу на каждом отрезке пути.

На отрезке AB работа, совершаемая силой, будет равна ∫ F · ds от t = -1 до t = 0.

Выразим ds через dt:
ds = √(dx^2 + dy^2) = √(dt^2 + (2t dt)^2) = √(1 + 4t^2) dt.

Заметим, что сила постоянна по величине и направлена вдоль кривой Г, поэтому F = const и ∫ F · ds = F ∫ ds.

Подставим выражение для ds и проинтегрируем:
∫ (√(1 + 4t^2)) dt.

Для интегрирования данного выражения необходимо знание интеграла от квадратного корня. Для упрощения ответа, представим исходное выражение в виде √(1 + (2t)^2).

Известно, что интеграл от √(1 + x^2) dx равен arcsinh(x) + C, где C - постоянная интегрирования.

Таким образом,
∫ (√(1 + 4t^2)) dt = (1/2) ∫ √(1 + (2t)^2) dt = (1/2) (arcsinh(2t) + C).

Вычислим данный интеграл на отрезке [-1, 0]:
((1/2) (arcsinh(2t)) ограничено от -1 до 0.

Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
((1/2) (arcsinh(2*0)) - (1/2) (arcsinh(2*(-1)))) = ((1/2) (arcsinh(0)) - (1/2) (arcsinh(-2))) = (1/2) (arcsinh(0) - arcsinh(-2)).

Заметим, что arcsinh(0) = 0, поэтому:
(1/2) (arcsinh(0) - arcsinh(-2)) = (1/2) (0 - arcsinh(-2)) = - (1/2) arcsinh(-2).

Таким образом, работа, совершаемая силой при перемещении материальной точки вдоль кривой г y = x^2 от точки A до точки B, равна - (1/2) arcsinh(-2).

Окончательный ответ: работа, совершаемая силой при перемещении материальной точки вдоль кривой г y = x^2 от точки A (-1, 1) до точки B (0, 0), равна - (1/2) arcsinh(-2).