Question

Найти область определения y= (1 / (x^2 -4)) +1 область определения равна 2? или нет, т.к. к дроби прибавляется единица? как преобразовать эту функцию, чтобы наиболее удобно можно было провести её полное исследование?

Answer 1

Функция, по определению - отношение, определяющее каждому элементу из множества Х единственный элемент из множества Y. Обозначается: F:X--->Y или (F,X,Y). 
Множество Х называется областью определения, Y - область значений.
Исходя из определения функции - область определения это все x $\in$ X, для которых есть y $\in$ Y.

Теперь, к вопросу:
$y= \frac{1}{x^2-4}+1 y= \frac{1}{(x-2)(x+2)}+1$
Если 2 или -2 будут в области определения, значит для них есть какие-то f(2) и f(-2).
$f(2)= \frac{1}{4-4}+1=f(2)= \frac{1}{0} +1$
Принято "думать" что $\frac{1}{0} =\infty$ следовательно нет такого действительного числа y, которое станет в паре с 2 $(2,f(2)\in|R)$, значит 2 не может быть в области определения (с -2 тот-же случай).

Пояснение из алгебры: для нейтрального элемента 0 любого поля F обратное $0^{-1}$ не определено, потому "число" $\frac{1}{0}$ не существует, а значит - любой х$\in$X который приводит к подобному результату - не имеет смысла, следовательно находится вне области определения.