Question

. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью 0,0005. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более трёх элементов?

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем применить биномиальное распределение, так как каждый элемент независимо от других может выйти из строя с заданной вероятностью.

Дано:
n = 1000 (количество элементов в аппаратуре)
p = 0,0005 (вероятность выхода из строя одного элемента)
k ≤ 3 (не более трёх элементов)

Формула биномиального распределения имеет вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k, которое можно вычислить по формуле:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь найдем вероятность того, что за время Т откажет не более трех элементов:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

P(X = 0) = C(1000, 0) * (0,0005)^0 * (1 - 0,0005)^(1000 - 0)
P(X = 1) = C(1000, 1) * (0,0005)^1 * (1 - 0,0005)^(1000 - 1)
P(X = 2) = C(1000, 2) * (0,0005)^2 * (1 - 0,0005)^(1000 - 2)
P(X = 3) = C(1000, 3) * (0,0005)^3 * (1 - 0,0005)^(1000 - 3)

Вычислим каждое значение:

P(X = 0) = 1 * 1^0 * 0,9995^(1000 - 0) = 0,9995^1000
P(X = 1) = 1000 * (0,0005)^1 * 0,9995^(1000 - 1)
P(X = 2) = 1000! / (2! * (1000 - 2)!) * (0,0005)^2 * 0,9995^(1000 - 2)
P(X = 3) = 1000! / (3! * (1000 - 3)!) * (0,0005)^3 * 0,9995^(1000 - 3)

Затем сложим все эти значения, чтобы получить итоговую вероятность:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Таким образом, чтобы найти вероятность того, что за время Т откажет не более трех элементов, нужно сложить все значения P(X = k) от k = 0 до k = 3, которые мы вычислили ранее.