решить задачу на СМО Рассматривается n – канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ (1/час). Среднее время обслуживания заявки равно tоб (мин). Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:
а) Число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α;
б) абсолютную пропускную СМО;
в) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;
г) среднее время пребывания заявки в СМО;
д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.
λ=11; tоб=15; α=0,09.
а) Для определения числа каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α, нам необходимо использовать формулу для вероятности отказа в n-канальной СМО с показательным распределением времени обслуживания:
Pотк = λ / nμ,
где Pотк - вероятность отказа,
λ - интенсивность поступления заявок,
n - число каналов,
μ - средняя интенсивность обслуживания одной заявки.
В нашем случае, λ = 11 (1/час) и tоб = 15 мин. Мы можем перевести среднее время обслуживания в интенсивность обслуживания следующим образом:
μ = 1 / tоб,
где μ - интенсивность обслуживания одной заявки.
Таким образом, мы получаем:
μ = 1 / 15 = 1/15 (1/мин).
Подставив значения интенсивности поступления заявок (λ) и интенсивности обслуживания одной заявки (μ) в формулу для вероятности отказа (Pотк), мы можем решить уравнение относительно n:
Pотк = λ / nμ.
Полученное уравнение:
α = λ / nμ,
где α = 0,09.
Для нахождения n выполним следующие шаги:
0,09 = 11 / (n * (1/15)).
Перенесём переменные:
0,09 * n * (1/15) = 11.
Домножим числитель на n:
0,09/15 * n = 11.
Разделим обе части уравнения на 0,09/15:
n = 11 / (0,09/15) = 11 * (15/0,09) = 1833,33 (округляем до ближайшего целого числа).
Таким образом, число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α, равно 1834.
б) Для определения абсолютной пропускной СМО (максимального числа заявок, которые СМО способна обслужить за единицу времени) используем формулу для абсолютной пропускной способности:
Nабс = λ / μ,
где Nабс - абсолютная пропускная способность.
Подставим значения интенсивности поступления заявок (λ) и интенсивности обслуживания одной заявки (μ) в формулу:
Nабс = 11 / (1/15) = 165 (заявок/час).
Таким образом, абсолютная пропускная СМО составляет 165 заявок в час.
в) Для определения среднего числа каналов, занятых обслуживанием заявок (средней занятости) воспользуемся формулой:
Nср = λtоб,
где Nср - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок.
Подставим значения интенсивности поступления заявок (λ) и среднего времени обслуживания (tоб) в формулу:
Nср = 11 * 15 = 165 (каналов).
Таким образом, среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок, составляет 165 каналов.
г) Для определения среднего времени пребывания заявки в СМО воспользуемся формулой:
Tср = 1 / (μ - λ),
где Tср - среднее время пребывания заявки в СМО.
Подставим значения интенсивности поступления заявок (λ) и интенсивности обслуживания одной заявки (μ) в формулу:
Tср = 1 / ((1/15) - 11) = -1/(-164/15) = 15/164 ~ 0,0915 (час).
Таким образом, среднее время пребывания заявки в СМО составляет около 0,0915 часа или 5,49 минуты.
д) Для определения среднего времени простоя одного (произвольно взятого) канала воспользуемся формулой:
Tпрост = 1 / μ,
где Tпрост - среднее время простоя одного канала.
Подставим значение интенсивности обслуживания одной заявки (μ) в формулу:
Tпрост = 1 / (1/15) = 15 (минут).
Таким образом, среднее время простоя одного канала составляет 15 минут.
Надеюсь, что ответы на задачу на СМО были обстоятельными и понятными. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.