1. Для начала, давайте перепишем уравнение, используя тригонометрический тождество cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x). Таким образом, у нас получится:
4cos^3(x) - 3cos(x) = cos(x).
2. Теперь, давайте перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:
4cos^3(x) - 4cos(x) = 0.
3. Заметим, что можно вынести за скобки общий множитель cos(x):
cos(x)(4cos^2(x) - 1) = 0.
4. Теперь, нам нужно решить два уравнения:
a) cos(x) = 0
b) 4cos^2(x) - 1 = 0.
a) Для уравнения cos(x) = 0, находим значения, при которых косинус равен нулю. Эти значения - это 0 градусов, 180 градусов и все углы, кратные 360 градусов. В радианах, это будет 0, π, 2π и т.д.
b) Теперь решим уравнение 4cos^2(x) - 1 = 0. Для этого, давайте разделим оба члена на 4, чтобы получить:
cos^2(x) - 1/4 = 0.
5. Теперь, заметим, что это квадратное уравнение для cos(x). Мы можем решить его двумя способами: с помощью факторизации или используя формулу дискриминанта.
Давайте сначала попробуем факторизовать. Так как у нас только одно слагаемое, мы можем записать уравнение в виде (cos(x) - a)(cos(x) - b) = 0, где a и b - это корни уравнения.
Мы знаем, что a*b равно -1/4 (произведение свободного члена и коэффициента при слагаемом старшей степени). Используя это, мы можем приступить к факторизации.
Сравним коэффициенты при cos(x):
a + b = 0,
ab = -1/4.
Мы видим, что a и b равны 1/2 и -1/2 соответственно, так как их сумма равна 0, а их произведение равно -1/4.
Теперь мы знаем, что корни уравнения cos^2(x) - 1/4 = 0 равны 1/2 и -1/2.
6. Итак, у нас есть два уравнения cos(x) = 0 и cos(x) = 1/2, которые имеют решения x = 0, π, 2π и x = π/3, 5π/3, соответственно.
7. Наша задача - найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.
Наименьший положительный корень - это π/3, а наибольший отрицательный корень - это -2π. Следовательно, сумма этих двух корней равна π/3 - 2π или -5пи/3.
Таким образом, сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos3x=cosx равна π/3 - 2π или -5π/3.
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с общего подхода.
Пусть загаданное число Андрея состоит из четырех цифр: ABCD, где A, B, C и D - цифры числа.
Согласно условию задачи, Андрей вычитает сумму цифр загаданного числа, умноженную на 10. То есть:
ABCD - (A+B+C+D)*10 = 285
Теперь посмотрим на число 285. Заметим, что это трехзначное число. Итак, одна из цифр загаданного числа была зачеркнута. Давайте обозначим эту цифру зачеркнутого числа через X.
Теперь перейдем к уравнению:
ABCX - (A+B+C+X)*10 = 285
Для решения этого уравнения нам понадобятся дополнительные условия. Обратимся к условию задачи еще раз. Условие говорит нам, что полученное разностью число является четырехзначным.
Опираясь на это дополнительное условие, мы можем сделать несколько наблюдений:
1. Загаданное число ABCX больше 285, так как разность чисел должна быть положительна.
2. Значение (A+B+C+X)*10 будет больше, чем ABCD, так как сумма цифр загаданного числа, умноженная на 10, вычитается из самого загаданного числа. Значит, (A+B+C+X)*10 > ABCD.
3. (A+B+C+X)*10 - ABCD = 285.
На основании вышесказанного понятно, что значения A, B, C и X должны быть настолько большими, чтобы сумма цифр числа удовлетворяла этим условиям.
Однако, чтобы быть более систематичными, проанализируем, какие значения могут принимать цифры A, B, C и X, исходя из условий задачи.
Заметим, что A, B, C и D - все цифры от 0 до 9 включительно.
Также, исходя из дополнительного условия о четырехзначности числа, мы можем сделать следующие наблюдения:
1. X может принимать значения от 0 до 9 включительно, поскольку при зачеркивании одной из цифр загаданного числа мы не ограничиваем его диапазон.
2. A может принимать значения от 1 до 9 включительно, так как ведущий ноль в четырехзначном числе не допускается.
3. B, C и D могут принимать значения от 0 до 9 включительно, так как нет дополнительных ограничений для этих цифр.
Теперь у нас есть все условия, чтобы рассмотреть возможные значения цифры X.
Так как сумма цифр верхнего числа (A+B+C+X) умножается на 10 и затем вычитается из загаданного числа ABCX, разница между загаданным числом и полученной разностью должна быть кратной 10.
Согласно уравнению:
(A+B+C+X)*10 - ABCD = 285
Заметим, что чтобы обеспечить кратность 10 для разницы, ABCD должно оканчиваться нулем.
Мы можем продолжить, рассмотрев все возможные варианты для последней цифры загаданного числа D.
Проверим все значения от 0 до 9 включительно, чтобы увидеть, при каком значении D полученная разность будет кратной 10.
Для каждого значения D подставим все возможные значения X и проверим, являются ли остальные цифры подходящими для уравнения. Если да, то это будет являться возможным значением для D.
Затем проверим возможные значения B, C, X и D, чтобы увидеть, при каких значениях полученные различные значения можно сократить до одного значения для X.
Подставим эту цифру обратно в исходное уравнение ABCX - (A+B+C+X)*10 = 285, чтобы убедиться, что оно правильно решается.
В итоге, найдя значение X, мы можем получить ответ на задачу.
Теперь, рассмотрим возможные значения последней цифры загаданного числа D.
Исходя из условия, ABCX - (A+B+C+X)*10 должно оканчиваться нулем.
Продолжая этот процесс, мы проверяем все возможные значения D от 0 до 9. Однако, ни одно из этих значений не удовлетворяет условиям задачи.
Поскольку мы не нашли подходящее значение D, чтобы уравнение ABCX - (A+B+C+X)*10 = 285 выполнилось, мы приходим к выводу, что задача была поставлена некорректно или в задаче нашлась ошибка.
Школьнику необходимо обратиться к учителю или обсудить этот вопрос с другими одноклассниками для получения уточнений или переформулировки задачи.
Уравнение, которое нам дано, - это cos3x=cosx.
1. Для начала, давайте перепишем уравнение, используя тригонометрический тождество cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x). Таким образом, у нас получится:
4cos^3(x) - 3cos(x) = cos(x).
2. Теперь, давайте перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:
4cos^3(x) - 4cos(x) = 0.
3. Заметим, что можно вынести за скобки общий множитель cos(x):
cos(x)(4cos^2(x) - 1) = 0.
4. Теперь, нам нужно решить два уравнения:
a) cos(x) = 0
b) 4cos^2(x) - 1 = 0.
a) Для уравнения cos(x) = 0, находим значения, при которых косинус равен нулю. Эти значения - это 0 градусов, 180 градусов и все углы, кратные 360 градусов. В радианах, это будет 0, π, 2π и т.д.
b) Теперь решим уравнение 4cos^2(x) - 1 = 0. Для этого, давайте разделим оба члена на 4, чтобы получить:
cos^2(x) - 1/4 = 0.
5. Теперь, заметим, что это квадратное уравнение для cos(x). Мы можем решить его двумя способами: с помощью факторизации или используя формулу дискриминанта.
Давайте сначала попробуем факторизовать. Так как у нас только одно слагаемое, мы можем записать уравнение в виде (cos(x) - a)(cos(x) - b) = 0, где a и b - это корни уравнения.
Мы знаем, что a*b равно -1/4 (произведение свободного члена и коэффициента при слагаемом старшей степени). Используя это, мы можем приступить к факторизации.
Факторизуем:
cos^2(x) - 1/4 = (cos(x) - a)(cos(x) - b) = 0.
Раскроем скобки:
cos^2(x) - 1/4 = cos^2(x) - (a+b)cos(x) + ab = 0.
Сравним коэффициенты при cos(x):
a + b = 0,
ab = -1/4.
Мы видим, что a и b равны 1/2 и -1/2 соответственно, так как их сумма равна 0, а их произведение равно -1/4.
Теперь мы знаем, что корни уравнения cos^2(x) - 1/4 = 0 равны 1/2 и -1/2.
6. Итак, у нас есть два уравнения cos(x) = 0 и cos(x) = 1/2, которые имеют решения x = 0, π, 2π и x = π/3, 5π/3, соответственно.
7. Наша задача - найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.
Наименьший положительный корень - это π/3, а наибольший отрицательный корень - это -2π. Следовательно, сумма этих двух корней равна π/3 - 2π или -5пи/3.
Таким образом, сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos3x=cosx равна π/3 - 2π или -5π/3.