Question

Доказать, что 3³⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2³⁽ⁿ⁺¹⁾ кратно 19

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Докажем гипотезу с метода математической индукции.

1. База индукции при $n=0, 3^{3*(0+1)}-2^{3*(0+1)}=27-8=19$ кратно 19

2. Шаг индукции. Предположим, что при $n=k,3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)}$ кратно 19. Докажем, что при при $n=k+1,3^{3(k+2)}-2^{3(k+2)}$ также будет кратно 19.

$3^{3(k+2)}-2^{3(k+2)}=3^{3}*3^{3(k+1)}-2^{3}*2^{3(k+1)}=(3^{3}-2^{3})*3^{3(k+1)}-2^{3}*(3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)})$

Уменьшаемое делится на 19, т.к. $(3^{3}-2^{3})=19$, а вычитаемое делится на 19, т.к. по предположению индукции $(3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)})$ делится на 19.

Следовательно и разность делится на 19.