Question

даны координаты вершин пирамиды A1( 7; 2 ; 2) A2 (5;7;7) A3(5;3;1) A4(2;3;7) . Найти: 1) длину ребра A1A2 ; 2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4 ; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1 A2A3 ; 4) площадь грани A1 A2A3 ; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2A3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2A3 .

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7) A3(5; 3; 1) A4(2; 3; 7) . Найти:

1) длину ребра A1A2.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7).

А1А2 = (5-7; 7-2; 7-2) = (-2; 5; 5).

Длина А1А2 = √((-2)² + 5² + 5²)  = √(4 + 25 + 25) = √54.

2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4.

Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 7; 2 ; 2) A4(2; 3; 7).

А1А4 = (2-7; 3-2; 7-2) = (-5; 1; 5).

Длина А1А4 = √((-5)² + 1² + 5²)  = √(25 + 1 + 25) = √51.

cos(A1A2_A1A4) = ((-2)*(-5)+5*1+5*5)/(√54*√51) = 40/√2754 = 0,762216.

Угол равен arccos0,762216 = 40,34006 градуса.

3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3.

Надо составить уравнение плоскости А1А2А3.

Вектор А1А4 найден и равен (-5; 1; 5). Его модуль равен √51.

Находим вектор А1А3 = (5-7; 3-2; 1-2) = (-2; 1; -1).

Находим векторное произведение A1A2xA1A3.

i        j       k|       i       j

-2     5     5|     -2       5

-2      1     -1|    -2        1 = -5i - 10j - 2k - 2j - 5i + 10k = -10i - 12j + 8k.

Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (-10; -12; 8).

Его модуль равен √((-10)² + (-12)² + 8²)  = √(100 + 144 + 64) = √308.

sin(A1A4_A1A2A3) = ((-5)*(-10)+1*(-12)+5*8)/(√51*√308) = 78/√15708 = 0,62235.

Угол равен 38,4879 градуса.

4) площадь грани A1A2A3.

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 на А1А3.

S = (1/2)* √((-10)² + (-12)² + 8²) = (1/2)*√308 = 8,775 кв. ед.

5) объём пирамиды.

V = (1/6)(A1A2xA1A3)*A1A4.

A1A2xA1A3 = -10  -12  8

          A1A4 = -5     1    5

                       50 - 12 + 40 = 78.

V = (1/6)*78 = 13 куб. ед.

6) уравнение прямой A1A2.  

Точка А1( 7; 2; 2), вектор А1А2 = (-2; 5; 5).

Уравнение А1А2: (x - 7)/(-2) = (y - 2)/5 = (z - 2)/5.

7) уравнение плоскости A1 A2A3.

x−xAxabxacy−yAyabyacz−zAzabzac∣∣∣∣=0 ⇔ ∣∣∣∣x−7−2−2y−251z−25−1∣∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅∣∣∣515−1∣∣∣−(y−2)⋅∣∣∣−2−25−1∣∣∣+(z−2)⋅∣∣∣−2−251∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅(−10)−(y−2)⋅12+(z−2)⋅8=0 ⇔⇔ 5x+6y−4z−39=0;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2A3.

Точка A4(2; 3; 7), нормальный вектор плоскости А1А2А3:(-10; -12; 8) - он для высоты является направляющим вектором.

(x - 2)/(-10) = (y - 3)/(-12) = (z - 7)/8.