Question

Вычислите объем пирамиды, ограниченной заданной плоскостью и координатными плоскостями. Найдите направляющие косинусы нормального вектора плоскости и расстояние от начала координат до плоскости 3x+4y+6z+24=0

Answer 1

Вычислите объем пирамиды, ограниченной заданной плоскостью и координатными плоскостями. Найдите направляющие косинусы нормального вектора плоскости и расстояние от начала координат до плоскости 3x+4y+6z+24=0.

Заданное уравнение выразим в «отрезках».

3x + 4y + 6z + 24 = 0.

3x + 4y + 6z = -24. Делим обе части на -24.

(3x/(-24)) + (4y/(-24)) + (6z/(-24)) = 1.

(x/(-8)) + (y/(-6)) + (z/(-4)) = 1.

Плоскость пересекает координатные оси в точках

А(-8; 0; 0),

B(0; -6; 0),

C(0; 0; -4).

V( пирамиды)=(1/3)·S(осн)·H.

Пусть основание – прямоугольный треугольник АОВ

Высота H равна длине отрезка ОС

V = (1/3)·(1/2)·|(-8)·(-6)|·|(-4)| = 192/6 = 32.

О т в е т. V = 32 куб. ед.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

У заданной плоскости 3x + 4y + 6z + 24 = 0 нормальный вектор N равен:

N = (3; 4; 6)/

Модуль вектора равен √(3² + 4² + 6²) = √(9 + 16 + 36) = √61.

Находим направляющие векторы:

cos α =ax//|a| = 3/√61,    

cos β =ay//|a| = 4/√61,  

cos γ =az//|a|= 6/√61.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√A2 + B2 + C2

Подставим в формулу данные:

d = |3·0 + 4·0 + 6·0 + 24|/√(32 + 42 + 62) = |0 + 0 + 0 + 24|√(9 + 16 + 36) =

= 24/√61 = 24√61/61 ≈ 3,07289.