1. Укажите, какие из следующих отношений являются рефлексивными, симметричными, транзитивными, отношениями эквивалентности: а) “a и b учатся в одном классе” на множестве учеников гимназии 1543; б) “a является сыном b ” на множестве людей на Земле; в) “a моложе b ” на множестве людей на Земле; г) “a является братом b ” на множестве людей на Земле; д) “a знаком с b ” на множестве людей на Земле; е) “a и b родились в одном месяце” на множестве людей на Земле; ж) “a любит b ” на множестве людей на Земле. 2. Укажите, какие из следующих отношений являются рефлексивными, симметричными, транзитивными, отношениями эквивалентности. Для отношений эквивалентности укажите разбиение на классы эквивалент- ности: а) “a | b ” на множестве целых чисел; б) “a и b имеют одинаковый остаток при делении на 3” на множестве целых чисел; в) “a > b ” на множестве целых чисел; г) “a и b имеют одну и ту же последнюю цифру” на множестве целых чисел; д) “площадь фигуры a равна площади фигуры b ” на множестве фигур на плоскости; е) “сторона и прилежащие углы треугольника a равны стороне и прилежащим углам треугольника b ” на множестве треугольников на плоскости; ж) “две стороны треугольника a равны двум сторонам треугольника b ” на множестве треугольников на плоскости; з) “два угла треугольника a равны двум углам треугольника b ” на множестве треугольников на плоскости
а) “a и b учатся в одном классе” на множестве учеников гимназии 1543:
- Рефлексивность: данное отношение не является рефлексивным, так как ученик не может учиться в одном классе сам с собой.
- Симметричность: оно является симметричным, так как если a и b учатся в одном классе, то и b и a также учатся в одном классе.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a и b учатся в одном классе, и b и c учатся в одном классе, то a и c также учатся в одном классе.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является рефлексивным.
б) “a является сыном b ” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждый человек является собственным сыном.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как если a является сыном b, это не означает, что b является сыном a.
- Транзитивность: оно не является транзитивным, так как, например, если a является сыном b, и b является сыном c, это не означает, что a является сыном c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является симметричным и транзитивным.
в) “a моложе b ” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение не является рефлексивным, так как человек не может быть моложе самого себя.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как если a моложе b, это не означает, что b моложе a.
- Транзитивность: оно не является транзитивным, так как, например, если a моложе b, и b моложе c, это не означает, что a моложе c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
г) “a является братом b ” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение не является рефлексивным, так как человек не может быть братом самого себя.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как, например, если a является братом b, это не означает, что b является братом a.
- Транзитивность: оно не является транзитивным, так как, например, если a является братом b, и b является братом c, это не означает, что a является братом c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
д) “a знаком с b ” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждый человек знаком сам с собой.
- Симметричность: оно является симметричным, так как если a знаком с b, то и b также знаком с a.
- Транзитивность: оно не является транзитивным, так как если a знаком с b, и b знаком с c, это не означает, что a знаком с c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является транзитивным.
е) “a и b родились в одном месяце” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждый человек родился в том же месяце, в котором родился.
- Симметричность: оно является симметричным, так как если a и b родились в одном месяце, то и b также родился в том же месяце, в котором родился a.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a и b родились в одном месяце, и b и c родились в одном месяце, то a и c также родились в одном месяце.
- Отношение эквивалентности: данное отношение является отношением эквивалентности, так как оно является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Классами эквивалентности будут являться различные месяцы, в которых родились люди.
ж) “a любит b ” на множестве людей на Земле:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждый человек любит самого себя.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как, например, если a любит b, это не означает, что b любит a.
- Транзитивность: оно не является транзитивным, так как, например, если a любит b, и b любит c, это не означает, что a любит c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является симметричным и транзитивным.
2. Перейдем ко второй части вопроса:
а) “a | b ” на множестве целых чисел:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждое число делится на себя.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как если a делится на b, это не означает, что b делится на a.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a делится на b, и b делится на c, то a также делится на c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является симметричным.
б) “a и b имеют одинаковый остаток при делении на 3” на множестве целых чисел:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждое число имеет одинаковый остаток при делении на себя же.
- Симметричность: оно является симметричным, так как если a имеет одинаковый остаток с b при делении на 3, то и b также имеет одинаковый остаток с a.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a имеет одинаковый остаток с b при делении на 3, и b имеет одинаковый остаток с c, то a также имеет одинаковый остаток с c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение является отношением эквивалентности. Остатки при делении на 3 образуют 3 класса эквивалентности: [0] - числа, делящиеся на 3; [1] - числа, дающие остаток 1 при делении на 3; [2] - числа, дающие остаток 2 при делении на 3.
в) “a > b ” на множестве целых чисел:
- Рефлексивность: данное отношение не является рефлексивным, так как число не может быть больше самого себя.
- Симметричность: оно не является симметричным, так как если a > b, это не означает, что b > a.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a > b, и b > c, то a > c.
- Отношение эквивалентности: данное отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является рефлексивным и симметричным.
г) “a и b имеют одну и ту же последнюю цифру” на множестве целых чисел:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждое число имеет одну и ту же последнюю цифру, которая совпадает с последней цифрой самого числа.
- Симметричность: оно является симметричным, так как если a и b имеют одну и ту же последнюю цифру, то и b также имеет одну и ту же последнюю цифру, что совпадает с последней цифрой a.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как если a и b имеют одну и ту же последнюю цифру, и b и c имеют одну и ту же последнюю цифру, то a и c также имеют одну и ту же последнюю цифру.
- Отношение эквивалентности: данное отношение является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности будут являться числа с одинаковой последней цифрой.
д) “площадь фигуры a равна площади фигуры b ” на множестве фигур на плоскости:
- Рефлексивность: данное отношение является рефлексивным, так как каждая фигура равна самой себе по площади.
- Симметричность: оно не является симметричным значениями. Если площадь фигуры a равна площади фигуры b, это не означает, что площадь фигуры b равна площади фигуры a. В общем случае, объекты с одинаковом площадью могут быть различными.
- Транзитивность: оно является транзитивным, так как