Question

Определи все значения параметров b и c, при которых прямая y=4x−12 касается параболы f(x)=x2+bx+c в точке (3;0). ответ:
b=

c=

Answer 1

Чтобы прямая y=4x-12 касалась параболы f(x)=x^2+bx+c в точке (3;0), необходимо, чтобы уравнения прямой и параболы имели общую точку и одинаковый наклон в этой точке.

Для начала, найдем уравнение касательной к параболе в точке (3;0). Для этого вычислим производную функции f(x) и подставим в нее координаты точки (3;0):

f'(x) = 2x + b

f'(3) = 2*3 + b = 6 + b

Таким образом, уравнение касательной к параболе f(x) в точке (3;0) имеет вид y = (6+b)(x-3) + f(3).

Поскольку прямая y=4x-12 должна касаться параболы в точке (3;0), уравнение касательной и прямой должны совпадать:

(6+b)(x-3) + f(3) = 4x-12

Раскроем скобки и упростим выражение:

6x - 18 + bx - 3b + 9 + b^2 + 3b + c = 4x - 12

Упростим это уравнение:

6x - bx + 4x - 4x - 18 + 9 + c - 12 = -b^2

2x - 18 + c - 12 = -b^2

2x - 21 + c = -b^2

Теперь возможные значения параметров b и c можно определить, решив это уравнение.

Так как условием задачи не указаны границы для b и c, то мы можем задать для них любые значения.

Например, возьмем b=1 и c=25.

Тогда получим:

2x - 21 + 25 = -b^2

2x + 4 = -1

2x = -5

x = -2.5

Подставим это значение x обратно в уравнение параболы:

f(-2.5) = (-2.5)^2 + 1(-2.5) + 25 = 6.25 - 2.5 + 25 = 29.75

Таким образом, при значениях b=1 и c=25 прямая y=4x-12 касается параболы f(x)=x^2+bx+c в точке (x; f(x)), где x = -2.5 и f(x) = 29.75.

Очевидно, что существует бесконечное количество значений параметров b и c, при которых прямая y=4x-12 будет касаться параболы f(x)=x^2+bx+c в точке (3;0). Так как задача не задает дополнительных условий, мы можем выбрать любые значения b и c, которые удовлетворяют этим условиям.