Question

Найти сложную производную функции у=sqrt(1+ln^2x) при х=1

Answer 1

Добрый день! Я буду рад помочь вам разобраться с этим математическим вопросом. Давайте решим его пошагово:

Шаг 1: Начнем с самой функции:
у = sqrt(1 + ln^2(x))

Шаг 2: Для нахождения производной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x),

где f'(x) - производная функции f(x), g(x) - функция внутри f(x) и g'(x) - производная функции g(x).

В нашем случае f(x) = sqrt(x) и g(x) = 1 + ln^2(x).

Шаг 3: Давайте найдем производные от f(x) и g(x):

Производная функции f(x) = sqrt(x) равна f'(x) = (1/2) * x^(-1/2).

Для нахождения производной функции g(x) = 1 + ln^2(x) используем правило цепочки. Согласно этому правилу, производная логарифма в квадрате равна:

(ln^2(x))' = 2 * ln(x) * (1/x) = 2 * ln(x) / x.

Затем найдем производную от суммы 1 + ln^2(x):

(1 + ln^2(x))' = 0 + (2 * ln(x) / x) = 2 * ln(x) / x.

Шаг 4: Теперь, когда у нас есть производные функций f(x) и g(x), можем подставить их в формулу для производной сложной функции:

у'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

Заметим, что у нас есть значение х = 1, поэтому подставим его в нашу функцию:

у'(1) = f'(g(1)) * g'(1).

Найдем значения f'(g(1)) и g'(1):

f'(g(1)) = (1/2) * (1^(-1/2)) = 1/2.

g'(1) = 2 * ln(1) / 1 = 0.

Теперь мы можем вычислить у'(1):

у'(1) = (1/2) * 0 = 0.

Шаг 5: Ответ: Мы получили, что производная функции у=sqrt(1+ln^2x) при х=1 равна 0.

Пожалуйста, не стесняйтесь задавать вопросы, если возникнут трудности или нужно разобраться в каком-то шаге. Я обязательно помогу вам разобраться.