Question

Дано: ∆ABC, координаты точек А,В,С. A-(-2;-1)
B-(1;4)
C-(2;-3)
Выполнить:
1. Постройте ∆АВС по координатам. Проведите медианы АА1, BB1, CH1. Постройте высоты AH1, ВН1, СН1.
2. Запишите уравнения сторон AB, BC, AC.
3. Найдите длины сторон треугольника АВС. Определите вид треугольника по сторонам (равносторонний, разносторонний, равнобедренный).
4. Найдите углы ∆АВС. Определите вид треугольника по угла (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный).
5. Найдите длины медиан АА1, ВВ1, СC1.
6. Найдите дины высот AH1, ВН1, СН1.

Answer 1

Даны вершины треугольника: А(-2; -1), B(1; 4), C(2; -3).

Выполнить:

1. Постройте ∆АВС по координатам. Проведите медианы АА1, BB1, CC1. Постройте высоты AH1, ВН2, СН3.

Даны на прилагаемом рисунке.

2. Запишите уравнения сторон AB, BC, AC.

Находим векторы.

Вектор АВ = (1-(-2); 4 -(-1)) = (3; 5). Модуль равен √(3² + 5²) = √34.

Вектор ВС = (2-1; -3 -4) = (1; -7). Модуль равен √(1² + (-7)²) = √50.

Вектор АС = (2-(-2); -3 -(-1)) = (4; -2). Модуль равен √(4² + (-2)²) = √20 = 2√5.

Определяем уравнения сторон.

AB: (x + 2)/3 = (y + 1)/5        каноническое,

      5x – 3y + 7 = 0               общее,

      y = (5/3)x + (7/3)            с угловым коэффициентом.

ВС: (x - 1)/1 = (y - 4)/(-7)      каноническое,

      7x + y - 11 = 0                общее,

      y = -7x + 11                    с угловым коэффициентом.

АС: (x + 2)/4 = (y + 1)/(-2)    каноническое,

      2x + 4y + 8 = 0 или x + 2y + 4 = 0       общее,

      y = (-1/2)x - 2                 с угловым коэффициентом.

3. Найдите длины сторон треугольника АВС. Определите вид треугольника по сторонам (равносторонний, разносторонний, равнобедренный).

Длины (модули) сторон найдены в п.2).

Вид треугольника по сторонам: разносторонний.

4. Найдите углы ∆АВС. Определите вид треугольника по углам (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный).

Углы по теореме косинусов    

cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc) 4 52,1536192 0,0767  

A = arccos 0,0767 = 1,494024 радиан 85,6013 градуса

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) 64 82,4621125 0,77611  

B = arccos 0,77611 = 0,682317 радиан 39,0939 градуса

cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab) 36 63,2455532 0,56921  

C = arccos 0,56921 = 0,965252 радиан 55,3048 градуса

Вид треугольника по углам: остроугольный.

5. Найдите длины медиан АА1, ВВ1, СC1. А(-2; -1), B(1; 4), C(2; -3).

Находим координаты точки А1 как середины стороны ВС.

А1 = (B(1; 4) + C(2; -3)) / 2 = (1,5; 0,5).

Вектор АА1 = (1,5-(-2); 0,5-(-1))  = (3,5; 1,5)

Уравнение АА1:  (х + 2)/3,5 = (у + 1)/1,5,

или в целых числах  (х + 2)/7 = (у + 1)/3. 

Находим координаты точки В1 как середины стороны АС.

В1 = (А(-2; -1) + C(2; -3))/2 = (0; -2).

Вектор ВВ1 = (0 -1; -2-4)  = (-1; -6).

Уравнение ВВ1:  (х - 1)/(-1) = (у -4)/(-6).

Находим координаты точки С1 как середины стороны АВ.

С1 = (А(-2; -1) + B(1; 4)) / 2 = (-0,5; 1,5).

Вектор СС1 = (-0,5-2); 1,5-(-3))  = (-2,5; 4,5),

Уравнение СС1:  (х - 2)/(-2,5) = (у + 3)/4,5.

или в целых числах  (х - 2)/(-5) = (у + 3)/9.

Длины медиан X Y Модуль

АА1= √(3,5² + 1,5²) = 3,8079,

ВВ1= √((-1)² + (-6)²) = 6,0828,

СС1= √((-2,5)² + 4,5²) = 5,1478.

6. Найдите длины высот AH1, ВН2, СН3.

Высота АН1 перпендикулярна стороне ВС: 7x + y - 11 = 0.

Её уравнение имеет вид х - 7у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на В и -А).

Для определения величины С подставим координаты точки А(-2; -1).

АН1: 1*(-2) - 7*(-1) + С = 0, отсюда С = 2 - 7 = -5.

АН1: х - 7у - 5 = 0.

Длина высоты AH1 – это расстояние от точки А до противолежащей стороны ВС.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C|

         √(A² + B²)

Подставим в формулу данные: ВС: 7x + y - 11 = 0, А(-2; -1).

d = |7·(-2) + 1·(-1) - 11|         |-14 - 1 - 11|

           √(7² + 1²)        =      √(49 + 1)      =

= 26/√50 = 26√2/10 ≈ 3,677.

Высота ВН2 перпендикулярна стороне АС: x + 2y + 4 = 0.

Её уравнение имеет вид 2х - у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнения стороны АC меняются на В и -А).

Для определения величины С подставим координаты точки B(1; 4).

ВН2: 2*1 - 1*4 + С = 0, отсюда С = -2 + 4 = 2.

ВН2: 2х - у + 2 = 0.

Длина высоты ВH2 – это расстояние от точки В до противолежащей стороны АС.

Подставим в формулу данные: АС: x + 2y + 4 = 0, B(1; 4).

d = |1·1 + 2·4 + 4|              |1 + 8 + 4|  

        √(1² + 2²)        =        √(1 + 4)      =

= 13/√5 = 13√5/5 ≈ 5,814.

Высота СН3 перпендикулярна стороне АВ: 5x – 3y + 7 = 0.

Её уравнение имеет вид 3х + 5у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки С(2; -3).

СН3: 3*2 + 5*(-3) + С = 0, отсюда С = -6 + 15 = 9.

СН3: 3х + 5у + 9 = 0.

Длина высоты CH3 – это расстояние от точки С до противолежащей стороны AB.

Подставим в формулу данные: АВ: 5x – 3y + 7 = 0, С(2; -3).

d = |5·2 - 3·(-3) + 7|            |10 + 9 + 7|    

       √(5² + (-3)²)         =        √(25 + 9)      =

= 26/√34 = 13√34/17 ≈ 4,459.