Question

Найдите корни уравнения (x-2)² = (6)/(x+3) , принадлежащие промежутку [2; +∞).

Answer 1

Сначала находим область определения функций.

f(x) = √(2x² +6x + 3).

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

2x² +6x + 3 ≥ 0.

Квадратное уравнение 2x² +6x + 3 = 0, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=6^2-4*2*3=36-4*2*3=36-8*3=36-24=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√12-6)/(2*2)=(√12-6)/4=√12/4-6/4=√12/4-1,5 ≈ -0,633975;                        x₂=(-√12-6)/(2*2)=(-√12-6)/4=-√12/4-6/4=-√12/4-1,5 ≈ -2,366025.

То есть, для этой функции -∞ < x < -2,366025 и х > -0,633975.

Для второй функции -х² - 4х ≥ 0,

-х(х+4) ≥ 0 имеем 2 крайних значения x < 0 и x > -4.Так как подкоренные выражения положительны, первое из них больше или равно второму.

2х² + 6х + 3 ≥ - х² - 4х ,

2х² + 6х + 3 + х² + 4х  ≥ 0,

3х² + 10х + 3 ≥ 0.  

Решаем квадратное уравнение 3х² + 10х + 3 = 0.  

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=10^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√64-10)/(2*3)=(8-10)/(2*3)=-2/(2*3)=-2/6=-(1/3) ≈ -0.33333;                      x₂=(-√64-10)/(2*3)=(-8-10)/(2*3)=-18/(2*3)=-18/6=-3.

Объединение полученных областей даёт ответ:

-4 ≤ x ≤ -3,  (-1/3) ≤ x ≤ 0.

Пошаговое объяснение: