Деятельность человека вносит много изменений в окружающую среду. сельское хозяйство, как правило, использует земли для пастбищ, полей, сенокосов. это означает, что поймы рек и другие пригодные луга будут заняты , которые вытаптывают землю и траву, при этом часто не оставляя жизненного пространства для каких-либо других животных в этом месте, или же они будут распаханы и засеяны с/х культурами. при отсутствии открытых пространств, пригодных для занятия сельским хозяйством, могут вырубаться большие площади лесов. так или иначе, облик местности сильно меняется. стекающие с полей и ферм дождевые воды вносят в ближайшие водоемы большое количество минеральных и органических веществ, что может сильно их загрязнять. при неправильном использовании удобрений и пестицидов возникает опасность отравления водоемов и населяющих их животных и растений. промышленные комплексы тоже привносят в природу много нетипичных для нее загрязнителей. это может быть дым, содержащий ядовитые вещества, стоки, загрязняющие реки, а также повышающие их температуру. из-за повышения температуры водоемов многие из них зимой не замерзают, что является причиной зимовки некоторых водоплавающих птиц. бумажная промышленность требует для работы много древесины, что опять приводит к вырубке лесов. горнодобывающая промышленность использует для добычи ископаемых шахты и карьеры, проводит подрывные работы. нефтедобывающая промышленность несет риск загрязнения воды и почвы нефтепродуктами. различная пищевая промышленность часто связана с выловом рыбы и других морских животных, что приводит к сокращению их численности.
Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. z = 5*x^2*y+3*x*y^2 Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 1) gradu в точке A(5; 3; 0); 2) производную в точке А в направлении вектора . Решение. 1. . Найдем частные производные функции u в точке А. ;; , . Тогда 2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле . Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор вектора . , где . Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. Решение. Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.
