Question

9.1. В коробке находятся шарики и кубики синего или красного цвета. Известно, что количество синих кубиков на 10% больше количества синих шариков, а количество красных шариков на 15% больше количества красных кубиков. Известно также, что в этой коробке количество предметов синего цвета на 20% больше количества предметов красного цвета, а всего в коробке находятся 43043 предмета. Сколько в коробке кубиков (синих и красных вместе)? 9.2. Пусть p и q – два простых числа, причём 2 < p < q , а между p и q нет других простых чисел. Докажите, что всегда сумма p + q раскладывается в произведение трёх не равных 1 сомножителей. (например: 3 + 5 = 2 · 2 · 2 , 7 + 11 = 2 · 3 · 3 ).
9.3. В треугольнике ABC проведена медиана BM , в треугольнике ABM проведена медиана BТ , а в треугольнике BТC проведена медиана ТK . Известно, что AC = 2AB . Докажите, что ВМ и ТK перпендикулярны.
9.4. В аудитории находятся 33 юноши. Каждый из них записывает на доске количество других юношей, у которых такое же имя, как у него самого. Затем каждый из них записывает на доске количество других юношей, у которых такое же отчество, как у него самого. Оказалось что среди всех 66 записанных на доске чисел каждое из чисел 0, 1, 2, … , 10 встречается хотя бы раз. Докажите, что найдутся двое юношей с одинаковыми именами и отчествами.
9.5. Докажите, что при любом целом положительном n > 2021 все числа от 1 до n можно покрасить в красный или в зеленый цвет так, чтобы произведение красных чисел было равно сумме зеленых.