Задача 7. Найти ранг системы векторов ~a = (2; −1; −3), ~b = (1; 0; 1), ~c = (−1; 1; 3), d~ = (1; 1; 4). Указать какой-нибудь базис в этой системе векторов. Векторы, не входящие в базис, разложить по базису.
1. Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
Поняття системи та її розвязків
Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.
Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.
Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.
Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.
Приклади систем
— система двох рівнянь з двома змінними
Пара тобто —розвязок системи
— система трьох рівнянь з трьома змінними
Трійка тобто — один із розвязків системи
Схема розвязування систем рівнянь
Графічний метод
Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
Будуємо графіки.
Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.
Метод підстановки
З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
Розвязуємо одержане рівняння
Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.
Метод додавання
Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
Розвязуємо одержане рівняння.
Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.
Приклади розвязування систем рівнянь
Розвязування графічним методом
Приклад 1
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Будуємо графіки
Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці
Відповідь:
Розвязування методом підстановки
Приклад 2
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:
Одержане значення підставляємо у вираз
Відповідь:
Розвязування методом додавання
Приклад 3
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.
Додаємо почленно рівняння і одержуємо:
Знаходимо значення з першого рівняння системи:
Відповідь:
Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.
Виктор михайлович васнецов — живописец, создававший произведения на темы национальной , былин и народных сказок. в выборе сюжета картин васнецов был совершенно свободен, его фантазия обратилась к богатым образам фольклора. васнецов изобразил волшебный ковер из наших сказок в виде громадной птицы с выгнутым вверх хребтом и широко раскрытыми крыльями. сейчас иван несется на ковре-самолете через горы, моря, громадные безграничные равнины после смелого путешествия за тридевять земель в тридесятое царство, где он взял в плен и везет с собой чудесную жар-птицу. в другой сказке иван найдет в подземелье великие царства. здесь воплощены прекрасные и реальные мечты человека о счастье, разгадка скрытых тайн природы. иван на ковре-самолете — олицетворение непреодолимого стремления человечества летать, творить и побеждать. васнецову понравилась эта сказка потому, что в ней он увидел воплощенную в сказочно-наивной форме идею победы над бесконечными воздушными просторами. ковер на картине васнецова плавно плывет в воздухе, величаво паря над землей, возносясь над туманами и лесными далями, разгоняя своими краями, как могучими крыльями, испуганных сов. широки просторы необъятной страны, преодолеваемые ковром-самолетом, чудесной силой движения. концы летящего ковра раскинуты по диагонали, его силуэт напоминает птицу. своеобразно и смело реалистическое сочетание написанного ковра, парящего в воздухе, с поэтичностью лирико-эпического пейзажа. васнецов изображает чудеса сказки так же просто, как повествует о них народный сказитель. отсутствие фантастичности в форме и в стилизации способствует убедительности образа. мы любуемся полетом ковра и стоящего на нем смелого человека. васнецов сумел заставить зрителя поверить в материальность, весомость ковра, его быстрое движение ощущается зеркальной глади спокойно текущей далеко внизуречки. созданию этого впечатления фон картины: вечернее небо с медленно плывущими облаками. контрастирует с мощью ковра легкий серп месяца. самое яркое цветовое пятно — клетка со светящейся жар-птицей — доносит мысль сказки о счастье обладания немеркнущим светом. картина в. м. васнецова «ковер-самолет» — выражение веры в силы народа, его светлое будущее. художник проявил большое чутье и любовь к глубокому содержанию мудрых народных сказок, найдя свои оригинальные способы его зрительного воплощения. подойдёт?
1. Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
Поняття системи та її розвязків
Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.
Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.
Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.
Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.
Приклади систем
— система двох рівнянь з двома змінними
Пара тобто —розвязок системи
— система трьох рівнянь з трьома змінними
Трійка тобто — один із розвязків системи
Схема розвязування систем рівнянь
Графічний метод
Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
Будуємо графіки.
Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.
Метод підстановки
З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
Розвязуємо одержане рівняння
Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.
Метод додавання
Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
Розвязуємо одержане рівняння.
Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.
Приклади розвязування систем рівнянь
Розвязування графічним методом
Приклад 1
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Будуємо графіки
Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці
Відповідь:
Розвязування методом підстановки
Приклад 2
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:
Одержане значення підставляємо у вираз
Відповідь:
Розвязування методом додавання
Приклад 3
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.
Додаємо почленно рівняння і одержуємо:
Знаходимо значення з першого рівняння системи:
Відповідь:
Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.