Question

Дан квадратный трехчлен f(x), старший коэффицент которого равен 1. известно, что существует такая пара различных чисел u и v, что f(u)=v2(в смысле в квадрате) и f(v)=u2(в квадрате). докажите,что существует бесконечно много пар чисел с такими свойством.

Answer 1

Квадратный трехчлен имеет вид $ax^2+bx+c$, по условию $a=1$, тогда наше выражение равно    $x^2+bx+c$
так как  :
$f(u)=v^2\\ f(v)=u^2\\ \\ f(u)=u^2+bu+c=v^2\\ f(v)=v^2+bv+c=u^2$
выразим $b$, и приравняем 
$b=\frac{v^2-u^2-c}{u}\\ b=\frac{u^2-v^2-c}{v}\\ \\ \frac{v^2-u^2-c}{u}=\frac{u^2-v^2-c}{v}\\ (v+\frac{u^2}{v}-\frac{c}{v}+2u)(\frac{v}{u}-1)=0\\$
следовательно 
$\frac{v}{u}=1$
то есть можно бесконечно много подобрать таких параметров
$u=v\\ 4u^2=c\\ 4v^2=c$