Question

Дан эллипс 9x²+25y²=225 найти а) его полуоси б) фокусы в) эксцентриситет г) уравнения директрис

Answer 1

Каноническое уравнение эллипса
$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1$

Представим уравнение эллипса в каноническом виде. Для этого обе части равенства разделим на 225 и в знаменателях дроби выделим квадраты.
$9x^2+25y^2=225|:225\\ \\ \frac{9x^2}{225}+ \frac{25y^2}{225}= \frac{225}{225}\\ \\ \frac{x^2}{25}+ \frac{y^2}{9} =1\\ \\ \frac{x^2}{5^2}+ \frac{y^2}{3^2} =1$

Полуоси эллипса а=5, b=3.

Полуоси и фокусное расстояние связаны следующим равенством
$b^2+c^2=a^2$
Отсюда: 
$c= \sqrt{a^2-b^2} \\ \\c= \sqrt{5^2-3^2}= \sqrt{25-9}= \sqrt{16}=4$

Фокусы эллипса: F₁ (4;0), F₂ (-4;0).

Эксцентриситет вычисляется по формуле:
ε=с/а
ε=4/5=0,8

Эксцентриситет эллипса: ε=4/5

Уравнения директрис эллипса находятся по формуле:
$d_{1,2}:$ x=±а/ε

$d_1:x= \frac{5}{ \frac{4}{5} } = \frac{25}{4}=6.25 \\ \\d_2:x=- \frac{5}{ \frac{4}{5} }=-6.25$

Уравнения директрис эллипса: d₁: х=6,25, d₂: х=-6,25