ОДЗ появляется из условия, что знаменатель не равен 0
cos 2x * cos 7x ≠ 0
cos 2x ≠ 0 и cos 7x ≠ 0
2x ≠ π/2 + πk и 7x ≠ π/2 + πk
x ≠ π/4 + πk/2 и x ≠ π/14 + πk/7
Далее нужно сопоставить полученный ответ с ограничениями на х, что бы найти те значения n, при которых получаются запретные корни
1) π/18 + πn/9 ≠ π/4 + πk/2
1/18 + n/9 ≠ 1/4 + k/2 |*36
2 + 4n ≠ 9 + 18k
4n ≠ 18k + 7
Левая часть - чётное число, правая часть - нечётное, поэтому левая и правая части никогда не будут равны, как мы того и хотели (то есть, наш полученный корень не противоречит первому запрету с ОДЗ), значит, этот запрет уже не будем учитывать.
Теперь проверим второе условие с ОДЗ
2) π/18 + πn/9 ≠ π/14 + πk/7
1/18 + n/9 ≠ 1/14 + k/7 |*126
7 + 14n ≠ 9 + 18k
14n ≠ 2 + 18k
7n ≠ 9k + 1
Надо понять, при каких n такое уравнение будет иметь корни. Это уравнение в целых числах (уравнения такого вида называют диофантовыми). И, по факту, такое уравнение имеет бесконечное количество решений относительно n. Есть специальный как решать такие уравнения, чтобы в итоге получить формулу, которая задаёт одновремено все запрещённые значения для n.
Распишем 9k как 7k + 2k
7n ≠ 7k + 2k + 1
7n - 7k ≠ 2k + 1
7(n - k) ≠ 2k + 1
Если левая часть уравнения делится на 7, то что бы не было равенства, правая часть уравнения не должна делится на 7, то есть, правая часть не должна быть записана в виде 7m, где m - целое число (в данном случае m = n - k, то есть, мы просто заменили выражение после коэффициента 7 на букву m)
2k + 1 ≠ 7m
2k + 1 ≠ 6m + m
2k - 6m ≠ m - 1
2(k - 3m) ≠ m - 1
Теперь левая часть делится на 2, значит, правая часть не должна делиться на 2, что бы не было равенства, значит, правая часть не должна быть записана в виде 2p, где p - ещё одно целое число (опять делаем замену p = k - 3m)
m - 1 ≠ 2p
m ≠ 2p + 1
Теперь надо сделать последовательность обратных замен, чтобы вернутся к первоначальной букве n.
1) Из равенства p = k - 3m получаем:
k = 3m + p
Подставляем m ≠ 2p + 1:
k ≠ 3(2p + 1) + p
k ≠ 7p + 3
2) Из равенства m = n - k получаем:
n = m + k
Подставляем m ≠ 2p + 1 и k ≠ 7p + 3:
n ≠ 2p + 1 + 7p + 3
n ≠ 9p + 4
Вот и вышло то, что у вас написано и обведено внизу (с другой буковкой, но это без разницы). Другого как получить это ограничение, не знаю.
2 часа и 5 мин
Пошаговое объяснение: