Петрик розвозить між трьома готелями свою продукцію. В понеділок він поїхав з готелю "Карпати" в готель "Дніпро", а далі в готель "Таврида", проїхавши загалом 1335 км. Наступного дня у вівторок він виїхав з готелю "Таврида" в готель "Карпати", а далі в готель "Дніпро", проїхавши загалом 1513 км. В середу він поїхав з готелю "Дніпро" в готель "Таврида", а далі в готель "Карпати", проїхавши загалом 1424 км. В четвер він здійснив кільцевий маршрут від готелю "Карпати" в готель "Дніпро", далі в готель "Таврида", і повернувся в готель "Карпати". Відомо, що усі свої переїзди він робив з однаковою швидкістю і дорога кожного дня займала цілу кількість годин. За який час Петрик здiйснив останній кільцевий маршрут?
Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов:
Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2)
А для правой части формулы понижения степени:
Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2
Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2
То есть:
2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x)/2 - (1 - Cos 6x)/2))
2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x
2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x
Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов:
Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2)
2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x
2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0
Выносим общий множитель 2Cos x:
2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0
Отсюда:
Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k — целое
Sin 4x - Cos 5x = 0
Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0
Применяем формулу разности косинусов:
Cos x - Cos y = -2Sin ((x + y)/2) · Sin ((x - y)/2)
То есть:
-2Sin ((π/2 + x)/2) · Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0
1) Sin ((π/2 + x)/2) = 0
(π/2 + x)/2 = πk
π/2 + x = 2πk
x = -π/2 + 2πk
2) Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0
(π/2 - 9x)/2 = πk
π/2 - 9x = 2πk
9x = π/2 - 2πk
x = π/18 - 2π/(9k)
ответ:
x = ±π/2 + 2πk, k — целое
x = π/18 - 2π/(9k)