Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо найти точку их пересечения. Если такая точка существует, значит прямая лежит в плоскости, иначе прямая и плоскость пересекаются по одной точке или не пересекаются вовсе.
Для начала, рассмотрим систему уравнений:
x = -1 + 2t (1)
y = 3 + 4t (2)
z = 3t (3)
2x - 2y + z - 5 = 0 (4)
Заметим, что уравнение (4) описывает плоскость, а уравнения (1), (2) и (3) описывают прямую в пространстве.
Теперь для определения взаимного расположения прямой и плоскости найдем точку их пересечения. Для этого подставим уравнения прямой (1), (2) и (3) в уравнение плоскости (4).
Подставим значения x, y и z из уравнений прямой в уравнение плоскости:
2(-1 + 2t) - 2(3 + 4t) + (3t) - 5 = 0
Упростим это уравнение:
-2 + 4t - 6 - 8t + 3t - 5 = 0
-5t - 13 = 0
-5t = 13
t = -13/5
Теперь найдем значения x, y и z при t = -13/5:
x = -1 + 2(-13/5) = -1 - 26/5 = -31/5
y = 3 + 4(-13/5) = 3 - 52/5 = -37/5
z = 3(-13/5) = -39/5
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты x = -31/5, y = -37/5 и z = -39/5.
Теперь определим, находится ли эта точка на прямой или вне ее. Для этого подставим найденные значения x, y и z в уравнения прямой (1), (2) и (3).
Подставим x = -31/5, y = -37/5 и z = -39/5 в уравнения прямой:
-31/5 = -1 + 2t
-37/5 = 3 + 4t
-39/5 = 3t
Первое и второе уравнения прямой не выполняются для найденной точки пересечения. Таким образом, данная точка не принадлежит прямой, а значит прямая и плоскость не пересекаются.
Вывод: Взаимное расположение прямой и плоскости заключается в том, что они не пересекаются.
