Система непрерывных случайных величин (X,Y) имеет постоянную плотность вероятностей f (x, y) в заданной области. Являются ли случайные величины X,Y независимыми? Если нет, то определить условные математические ожидания случайных величин X,Y . Внутренность квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
Для непрерывной случайной величины, вероятность P(X=x) равна нулю для любого конкретного значения x. Поэтому проверять независимость по формуле P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y) для непрерывных случайных величин не имеет смысла.
Давайте найдем условные математические ожидания случайных величин X и Y.
Условное математическое ожидание случайной величины X при условии, что Y принимает значение y, обозначается E(X|Y=y) и вычисляется следующим образом:
E(X|Y=y) = ∫(x * f(x|y))dx,
где f(x|y) обозначает условную плотность вероятности X при условии, что Y=y.
Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что X принимает значение x, обозначается E(Y|X=x) и вычисляется следующим образом:
E(Y|X=x) = ∫(y * f(y|x))dy,
где f(y|x) обозначает условную плотность вероятности Y при условии, что X=x.
В нашем случае, нам дана постоянная плотность вероятности f(x, y) в заданной области - внутренности квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
Для определения условных математических ожиданий, нам необходимо знать условные плотности вероятности f(x|y) и f(y|x).
Поскольку плотность вероятности является постоянной в заданной области, условная плотность вероятности f(x|y) и f(y|x) также будет постоянной в этой области. Давайте обозначим их как f1 и f2 соответственно.
Таким образом, условные математические ожидания можно вычислить следующим образом:
E(X|Y=y) = ∫(x * f1)dx,
E(Y|X=x) = ∫(y * f2)dy.
Однако, без знания конкретных значения f1 и f2 нам не удастся вычислить эти математические ожидания.
Поэтому, чтобы точно определить условные математические ожидания случайных величин X и Y, требуется знание условных плотностей вероятности f1 и f2, которые явно не указаны в заданном условии. Дополнительная информация или уточнения, связанные с этим вопросом, могут помочь нам решить его окончательно.