Question

Найти поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали. F=
S- верхняя полусфера:

$({x}^{3} + yz)i + ( {y}^{3} + xz)j + ( {z}^{3} + xy)k$
${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 16 \: \: \: (z \geqslant 0)$

Answer 1

Для нахождения потока векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали, мы будем использовать формулу потока через поверхность.

Формула потока через поверхность:

Φ = ∬ F · dS

где F - векторное поле, dS - элемент площади поверхности, а ∬ представляет собой двойной интеграл по поверхности S.

Для начала, мы должны выразить векторное поле F в виде координатных функций. Из данного уравнения:

F = (x^3 + yz)i + (y^3 + xz)j + (z^3 + xy)k

следует, что F(x, y, z) = (x^3 + yz)i + (y^3 + xz)j + (z^3 + xy)k.

Теперь давайте рассмотрим поверхность S, которая является верхней полусферой с радиусом 4 (из уравнения x^2 + y^2 + z^2 = 16) и z >= 0.

Чтобы использовать формулу потока через поверхность, нам необходимо задать параметризацию этой поверхности.

Поскольку наша поверхность является полусферой, выгодно использовать сферические координаты. Заменяя x, y и z следующим образом:

x = r*sin(phi)*cos(theta)
y = r*sin(phi)*sin(theta)
z = r*cos(phi)

Мы можем переписать уравнение поверхности S в сферических координатах:

r^2 = 16
z >= 0

Итак, поверхность S в сферических координатах:

S: 0 <= theta <= 2*pi
0 <= phi <= pi/2
0 <= r <= 4

Теперь мы готовы выразить поверхностный элемент dS в сферических координатах.

dS = |(∂r/∂theta) x (∂r/∂phi)| dθ dφ

∂r/∂theta = r*sin(phi)*(-sin(theta))
∂r/∂phi = r*cos(phi)

Таким образом,

dS = |(r*sin(phi)*(-sin(theta)))i + (r*cos(phi))j + (r*sin(phi)*cos(theta))k| dθ dφ
= r^2*sin(phi) dθ dφ

Заменяем значения переменных и выражаем векторное поле F в сферических координатах:

F = (r^3*sin(phi)*cos(theta) + r*sin(phi)*cos(theta)*r*cos(phi))i + (r^3*sin(phi)*sin(theta) + r*sin(phi)*sin(theta)*r*cos(phi))j + (r^3*cos(phi) + r*sin(phi)*r*sin(phi)*cos(theta))k
= (r^3*sin(phi)*cos(theta) + r^2*sin(phi)*cos(theta)*cos(phi))i + (r^3*sin(phi)*sin(theta) + r^2*sin(phi)*sin(theta)*cos(phi))j + (r^3*cos(phi) + r^2*sin^2(phi)*cos(theta))k

Теперь мы готовы вычислить поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали.

Φ = ∬ F · dS
= ∬ [(r^3*sin(phi)*cos(theta) + r^2*sin(phi)*cos(theta)*cos(phi))i + (r^3*sin(phi)*sin(theta) + r^2*sin(phi)*sin(theta)*cos(phi))j + (r^3*cos(phi) + r^2*sin^2(phi)*cos(theta))k] · (r^2*sin(phi) dθ dφ)
= ∬ [r^5*sin^2(phi)*cos(theta) + r^4*sin^2(phi)*cos(theta)*cos(phi) + r^3*cos(phi)*sin(phi)] dθ dφ

Используя границы параметров поверхности S, диапазон значений theta и phi будет:

0 <= theta <= 2*pi
0 <= phi <= pi/2

Теперь мы можем выполнить интегрирование:

Φ = ∫[0 to pi/2] ∫[0 to 2*pi] [r^5*sin^2(phi)*cos(theta) + r^4*sin^2(phi)*cos(theta)*cos(phi) + r^3*cos(phi)*sin(phi)] dθ dφ

Вычисление этого интеграла может быть довольно сложным, и требует использования методов численного интегрирования или математического программного обеспечения.

Надеюсь, это помогло понять, как найти поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней нормали. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.