Question

Как найти матожидание от куба? Я имею в виду M(x^3*y^3). При том дан коэф кореляции, дисперсии и матожидания обоих. (D(x)=1/7, D(y)=1/49, E(X)=E(Y) =0, коэф равен 1/sqrt7. Я нашел матожидание суммы и квдарата суммы, а как куб-я не знаю

Answer 1

Привет! Для того чтобы найти математическое ожидание от куба, нам понадобится использовать некоторые свойства математического ожидания и дисперсии.

Итак, у нас дано:

D(x) = 1/7
D(y) = 1/49
E(X) = E(Y) = 0
Коэффициент корреляции равен 1/sqrt(7)

Поскольку E(X) = E(Y) = 0, мы уже знаем, что математическое ожидание от куба будет равно 0 (так как любое число, возведенное в степень 0, равно 0).

Теперь мы можем воспользоваться свойством:

E((X + Y)^3) = E(X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3)

Мы можем разложить эту сумму, используя бином Ньютона:

E((X + Y)^3) = E(X^3) + 3E(X^2Y) + 3E(XY^2) + E(Y^3)

Теперь нам нужно выразить каждое из этих математических ожиданий через имеющиеся данные.

Давай начнем с E(X^2Y). Мы можем использовать свойство ковариации: Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y). Поскольку E(X) = E(Y) = 0, мы можем записать:

Cov(X, Y) = E(XY)

Мы также знаем, что Cov(X, Y) = (коэффициент корреляции) * sqrt(D(X)*D(Y)). Подставляя известные значения, получаем:

1/sqrt(7) = E(XY)

Теперь мы можем выразить E(X^2Y):

E(X^2Y) = E(X * X * Y) = E(X) * E(X * Y) = 0 * E(XY) = 0

Теперь давай выразим E(XY^2):

Поскольку X и Y - случайные величины независимые (так как Cov(X, Y) = 0), мы можем записать:

E(XY^2) = E(X) * E(Y^2) = 0 * E(Y^2) = 0 * D(Y) + E(Y)^2 = 0

Наконец, у нас осталось только E(Y^3). Мы можем записать:

E(Y^3) = E(Y) * E(Y^2) = 0 * E(Y^2) = 0 * D(Y) + E(Y)^2 = 0

Теперь мы можем собрать все вместе и получить окончательный ответ:

E((X + Y)^3) = E(X^3) + 3E(X^2Y) + 3E(XY^2) + E(Y^3)
= E(X^3) + 3 * 0 + 3 * 0 + 0
= E(X^3)

Итак, мы получаем, что математическое ожидание от куба E(X^3) равно 0.