Question

Найти координаты вектора X в базисе e'1, e'2, e'3, если он задан в базисе (e1, e2, e3). $X={5,-5,4}\\e'1=e1+e2+e3\\e'2=-4e1=e2\\e'3=-e1+e2+e3\\$

Answer 1

Для решения этой задачи нам необходимо найти матрицу перехода от базиса (e1, e2, e3) к базису (e'1, e'2, e'3), а затем умножить вектор X на эту матрицу.

Матрицу перехода можно составить из координат векторов базиса (e'1, e'2, e'3) в базисе (e1, e2, e3). Для этого воспользуемся формулой:

[ [e'1] ] [ [e'2] ] [ [e'3] ]
| e1 | * | e2 | * | e3 |

Заменим в этой формуле векторы базиса e1, e2, e3 соответствующими координатами:

[ [e'1] ] [ [e'2] ] [ [e'3] ]
| 1 1 1 | * | -4 0 0 | * | -1 1 1 |
| 1 0 0 | | 0 1 0 | | 1 0 1 |
| 0 1 1 | | 0 0 1 | | 1 1 1 |

Выполним произведения и получим матрицу перехода:

[ [e'1] ] [ [e'2] ] [ [e'3] ]
| 1 1 1 | * | -4 0 0 | * | -1 1 1 |
| 1 0 0 | | 0 1 0 | | 1 0 1 |
| 0 1 1 | | 0 0 1 | | 1 1 1 |

= [ [e1] ] [ [e2] ] [ [e3] ]
| -4 0 0 | * | 1 1 1 | * | -1 1 1 |
| 0 1 0 | | 1 0 0 | | 1 0 1 |
| 0 0 1 | | 0 1 1 | | 1 1 1 |

= [ -4 4 4 ]
| 1 1 1 |
| 1 1 2 |

Теперь у нас есть матрица перехода от базиса (e1, e2, e3) к базису (e'1, e'2, e'3).

Чтобы найти координаты вектора X в базисе (e'1, e'2, e'3), нам нужно умножить матрицу перехода на вектор X:

[ -4 4 4 ] [ 5 ]
| 1 1 1 | * |-5 |
| 1 1 2 | | 4 |

= [ -4*5 + 4*(-5) + 4*4 ]
| 1*5 + 1*(-5) + 1*4 |
| 1*5 + 1*(-5) + 2*4 |

= [ -20 + (-20) + 16 ]
| 5 + (-5) + 4 |
| 5 + (-5) + 8 |

= [ -24 ]
| 4 |
| 8 |

Таким образом, координаты вектора X в базисе (e'1, e'2, e'3) равны (-24, 4, 8).