Даны векторы x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3) и z=(z1,z2,z3). Показать, что они образуют базис, и выразить вектор с=(с1,с2,с3) через этот базис, решая соответствующую систему уравнений по правилу Крамера. x=(8,2,3),y=(4,6,10),z=(3,-2,1),с=(7,4,11).
Для того чтобы показать, что векторы x, y и z образуют базис, нам необходимо проверить две основные вещи:
1) Линейная независимость векторов x, y и z.
2) Векторы x, y и z охватывают всё пространство.
Для проверки линейной независимости, мы должны решить систему уравнений вида:
a*x + b*y + c*z = 0,
где a, b и c - произвольные числа, и проверить, что единственным решением системы является a = b = c = 0.
Составим данную систему уравнений:
8a + 4b + 3c = 0 (1)
2a + 6b - 2c = 0 (2)
3a + 10b + c = 0 (3)
Мы можем решить систему уравнений по правилу Крамера, где xi - определитель матрицы, полученной из замены i-ого столбца свободными членами (0, 0, 0), и определитель матрицы полученной из замены i-ого столбца коэффициентами перед xi (8, 2, 3; 4, 6, 10; 3, -2, 1).
Матрица Сramer:
| 8 4 3 |
| 2 6 -2 |
| 3 10 1 |
Определитель матрицы Сramer (D) равен:
D = 8*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*3) = 8*(6 + 20) - 4*(-16) + 3*(-18) = 216 + 64 - 54 = 226
Теперь вычислим определители матриц, полученных из замены столбцов коэффициентами перед соответствующим вектором x, y и z.
Dx = 0*(6*1 - 10*(-2)) - 0*(4*1 - 10*3) + 0*(4*(-2) - 6*3) = 0
Dy = 8*(0*1 - 0*(-2)) - 4*(0*1 - 0*3) + 3*(0*(-2) - 0*3) = 0
Dz = 8*(6*0 - 10*0) - 4*(2*0 - 10*0) + 3*(2*0 - 6*0) = 0
Теперь, проверим условие линейной независимости:
Если D ≠ 0, то система уравнений имеет только тривиальное решение (a = b = c = 0).
В нашем случае, D ≠ 0, поэтому система уравнений имеет только тривиальное решение. Проанализируйте вопрос Даны векторы x,y, и z=(z1,z2,z3). Показать, что они образуют базис, решая соответствующую систему уравнений.
Теперь проверим, что векторы x, y и z охватывают всё пространство. Для этого нам достаточно показать, что вектор с может быть выражен через них.
Снова составим систему уравнений:
8a + 4b + 3c = 7 (1)
2a + 6b - 2c = 4 (2)
3a + 10b + c = 11 (3)
Решим эту систему уравнений по правилу Крамера, подставив в матрицу Сramer столбец свободных членов (7, 4, 11).
Матрица Cramer:
| 8 4 3 |
| 2 6 -2 |
| 3 10 1 |
Вычислим определители матриц:
D = 8*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*3) = 8*(6 + 20) - 4*(-16) + 3*(-18) = 216 + 64 - 54 = 226
Dx = 7*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(4*1 - 10*3) + 3*(4*(-2) - 6*3) = 7*(6 + 20) - 4*(4 - 30) + 3*(-8 - 18) = 406 - 104 - 78 = 224
Dy = 8*(4*1 - 10*3) - 7*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*4) = 8*(4 - 30) - 7*(2 - 30) + 3*(-4 - 24) = -208 - 196 - 84 = -488
Dz = 8*(6*1 - 10*3) - 4*(2*1 - 10*3) + 7*(2*(-2) - 6*4) = 8*(6 - 30) - 4*(2 -30) + 7*(-4 - 24) = -192 + 112 - 196 = -276
Теперь найдем решения системы:
a = Dx / D = 224 / 226 = 0.9912 ≈ 0.99
b = Dy / D = -488 / 226 = -2.1593 ≈ -2.16
c = Dz / D = -276 / 226 = -1.2212 ≈ -1.22
Таким образом, вектор с может быть выражен через базис из векторов x, y и z следующим образом:
с ≈ 0.99 * x - 2.16 * y - 1.22 * z, или в координатной форме:
с ≈ (0.99*8 - 2.16*4 - 1.22*3, 0.99*2 - 2.16*6 - 1.22*(-2), 0.99*3 - 2.16*10 - 1.22*1)
≈ (7.92 - 8.64 - 3.66, 1.98 - 12.96 + 2.44, 2.97 - 21.6 - 1.22)
≈ (-4.38, -8.54, -19.85).
Таким образом, мы показали, что векторы x, y и z образуют базис, и мы выразили вектор с через этот базис.
