Question

Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую проходящую через точку М y' = y - x², M(1;2)

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения методом изоклин, мы сначала найдем уравнение изоклин, а затем построим интегральную кривую, проходящую через заданную точку.

1. Найдем уравнение изоклин:
Изоклины - это кривые, на которых значение наклона функции y(x) остается постоянным.
Для этого уравнения, значение наклона функции y(x) равно y - x².

Пусть наклон функции y(x) равен k. Тогда уравнение изоклин будет иметь вид:
k = y - x²

2. Найдем значение наклона функции y(x), когда она проходит через точку М(1;2):
Подставим координаты точки М в уравнение изоклин, чтобы найти значение наклона:
k = 2 - 1²
k = 2 - 1
k = 1

Таким образом, наклон функции y(x) будет равен 1, когда она проходит через точку М.

3. Построение интегральной кривой:
Теперь, имея значение наклона (1) и заданную точку (М), мы можем построить интегральную кривую.

a) Если y - x² = 1, то y = x² + 1
Таким образом, первая интегральная кривая будет иметь вид y = x² + 1.

b) Построим эту кривую на графике, проходящую через точку М(1;2):
Для этого выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y.
Допустим, x = 0, 1 и 2.

- При x = 0:
y = 0² + 1
y = 1

- При x = 1:
y = 1² + 1
y = 2

- При x = 2:
y = 2² + 1
y = 5

Таким образом, мы получили три точки: (0, 1), (1, 2) и (2, 5), через которые проходит первая интегральная кривая.

c) Нарисуем график, проходящий через эти три точки:

^
|
6 | *
|
5 | *
|
4 |
| *
3 |
| *
2 | *
|_______________________________>
0 1 2 3 4 5 6 7

На графике видно, что интегральная кривая (y = x² + 1) проходит через заданную точку М(1;2).