Памятуя, что
Перепишем уравнение следующим образом
Теперь увидим в скобках обычную геометрическую прогрессию
Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число (мы можем это сделать, так как фи от 0 до пи пополам строго). В знаменателе будет чисто действительное число, поэтому уравнение можно будет упростить до
![\text{Im}[(1-e^{-i\varphi})e^{i\varphi}(1-e^{27i\varphi})]=0\\ \text{Im}[(1-e^{i\varphi})(1-e^{27i\varphi})] = 0](/tpl/images/0679/8702/4cb3b.png)
Обсудим более подробно функцию действительного параметра
Множество ее значений на комплексной плоскости - это окружность единичного радиуса, смещенная на 1 по оси действительных значений. Поэтому действительность произведения (см последнее уравнение)
![\text{Im}[f(\varphi)f(27\varphi)] = 0](/tpl/images/0679/8702/a5bc8.png)
Означает две вещи, либо сумма комплексных аргументов сомножителей равна πk, либо второй сомножитель равен 0 (напомним что для острых φ первый множитель не зануляется)
Рассмотрим первую ветвь поподробнее, воспользовавшись тем, что
Первая ветвь дает решения в нашей области
π/14; 2π/14; 3π/14 ... 6π/14 (6 корней)
Вторая ветвь f(27φ) = 0 имеет элементарное решение
И это дает нам корни
2π/27; 4π/27; 6π/27...12π/27 (еще 6 корней, не совпадающих с первыми)
! Итого ответ 12 корней. !
В справедливости ответа можно убедиться, построив график в любом графопостроителе. Интересный факт, корни первого семейства расположены достаточно близко к корням второго семейства (по сравнению с характерным расстоянием между парами корней)
5х² - 4х + с=0
x1,2=(-b ± √D)/(2a)
корни одинаковы при D=0
b²-4ac=0
16 - 4*5*c=0
20c=16
c=4/5
x1,2=4 ± 0 /10= + 0,4.ответ: с=4/5=0,8; х1,2=0,4
Найти корни можно и без с, т.к. D=0.