Question

Відомо, що cos α − sin α = m. Знайдіть sin3α − cos3α.

Answer 1

$\boxed{\sin^{3} - \cos^{3} \alpha = -\dfrac{m(m^{2} + 1)}{2} = -\dfrac{m^{3} + m}{2} }$

Пошаговое объяснение:

$\cos \alpha - \sin \alpha = m$

$(\cos \alpha - \sin \alpha)^{2} = m^{2}$

$\sin^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha = m^{2}$

$m^{2} = \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha$

$m^{2} = 1 + \sin 2\alpha$

$\sin^{3} - \cos^{3} \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha )( \sin^{2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^{2} \alpha ) =$

$=$$-(\cos \alpha - \sin \alpha )(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha ) = -(\cos \alpha - \sin \alpha )(1 + \sin \alpha \cos \alpha)=$

$= -(\cos \alpha - \sin \alpha ) \left(1 + \dfrac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2}\right )=-(\cos \alpha - \sin \alpha ) \left(1 + \dfrac{\sin2 \alpha }{2}\right )=$

$=-(\cos \alpha - \sin \alpha ) \left(\dfrac{2}{2} + \dfrac{\sin2 \alpha }{2}\right )=-(\cos \alpha - \sin \alpha ) \left( \dfrac{2 + \sin2 \alpha }{2}\right )=$

$==-(\cos \alpha - \sin \alpha ) \left( \dfrac{(1 + \sin2 \alpha) + 1}{2}\right )= - m\left( \dfrac{m^{2} + 1}{2}\right )= -\dfrac{m(m^{2} + 1)}{2}$