В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4», «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 3,5. а) Какую наибольшую долю могли составлять четвёрки в таком наборе отметок?
б) Учитель заменил одну отметку «4» двумя отметками: одной «3» и одной «5». Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического отметок ученика после такой замены.
в) Учитель заменил каждую отметку «4» двумя отметками: одной «3» и одной «5». Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического отметок ученика
после такой замены
(1 + 2 + 3 + 4x + 5(1 - x))/5 = 3,5,
где x - доля четвёрок в наборе отметок.
Решаем уравнение:
(1 + 2 + 3 + 4x + 5 - 5x)/5 = 3,5,
(6 - x)/5 = 3,5,
6 - x = 17,5,
-x = 11,5,
x = -11,5.
Мы получили отрицательное значение для x, что не имеет смысла в данной задаче. Вероятно, мы сделали какую-то ошибку в рассуждениях или уравнении. Попробуем решить задачу иначе.
Заметим, что среднее арифметическое можно представить в виде (3 + x)/2, где x - сумма оставшихся отметок ученика.
Тогда, чтобы получить наибольшую долю четвёрок, нужно предположить, что все остальные отметки ученика равны 5. Тогда мы можем записать уравнение:
(3 + x)/2 = 3,5,
3 + x = 7,
x = 4.
Значит, оставшиеся отметки должны составлять сумму 4. Так как максимально возможная отметка - 5, то наибольшая доля четвёрок в наборе отметок будет равна 4/5 или 0,8 (или 80%).
б) Если учитель заменил одну отметку "4" на "3" и "5", то мы можем представить уравнение для среднего арифметического следующим образом:
(1 + 2 + 3 + 3 + 5 + 5)/6 = (19 + x)/6,
где x - сумма оставшихся отметок ученика.
Решаем уравнение:
19 + x = 21,
x = 2.
Таким образом, среднее арифметическое после замены будет равно (21 + 2)/6 = 23/6 = 3,83 (округляем до сотых).
в) Если учитель заменил каждую отметку "4" на "3" и "5", то сумма оставшихся отметок ученика увеличится на 2 каждый раз, то есть сумма отметок будет увеличиваться на 2n, где n - количество "4". Тогда, новое среднее арифметическое можно записать следующим образом:
(1 + 2 + 3 + 2n*3 + 2n*5)/(5 + 2n) = (11n + 16)/(5 + 2n),
где n - количество "4".
Мы хотим найти максимально возможное значение этого выражения. Для этого нужно рассмотреть предел при n стремящемся к бесконечности.
lim[(11n + 16)/(5 + 2n)], n->∞.
Чтобы упростить это выражение, можно разделить числитель и знаменатель на n:
lim[(11 + 16/n)/(5/n + 2)], n->∞.
При n стремящемся к бесконечности, выражения 16/n и 5/n стремятся к 0. Поэтому предел можно переписать следующим образом:
lim[(11 + 0)/(0 + 2)], n->∞,
lim[11/2], n->∞.
Значит, максимально возможное значение среднего арифметического будет равно 11/2 или 5,5.
Таким образом, после замены каждой отметки "4" на "3" и "5", наибольшее возможное значение среднего арифметического будет равно 5,5.