Question

Відомо, що |a|=|b|=4, а вектори a+2b і a взаємно перпендикулярні 1. Знайти кут між векторами a i b (у градусах)
2. Знайдіть a•b

Answer 1

1. 120°   2) $\vec a\cdot \vec b=-8$

Пошаговое объяснение:

$|\vec a|=|\vec b|=4$

Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Значит,

$(\vec a+2\vec b)\cdot \vec a =\vec a\cdot\vec a+2\vec b\cdot \vec a=\vec a^{2} +2\vec b\cdot \vec a =|\vec a|^{2} +2\vec b\cdot \vec a =4^{2} +2\vec b\cdot \vec a =16+2\vec b\cdot \vec a$

Тогда

$16+2\vec b\cdot \vec a=0;\\2\vec b\cdot \vec a=-16;\\\vec b\cdot \vec a=-16:2;\\\vec b\cdot \vec a=-8\\\vec a\cdot \vec b=-8$

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos\alpha ,$ где $\alpha -$ угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$

Тогда найдем косинус угла между векторами.

$\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b }{|\vec a|\cdot|\vec b|} ;\\\\\cos\alpha=\dfrac{-8}{4\cdot4} =- \dfrac{8}{16} =-\dfrac{1}{2}$

Тогда α =120°

Тогда угол между векторами равен 120°