По Пифагору определяем гипотенузу АС треугольника АВС. АС = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √ 400 = 20. Вершина М проецируется на основание в точку О - середину АС. Проекция высоты грани ВМС на основание равна половине АВ, то есть 12/2 = 6. Отсюда высота H пирамиды равна 6*tg 60° = 6√3. Эта высота равна высоте грани АМС. Находим высоты других граней. Высота грани АМВ = √(8² + Н²) = √(64 + 108) = √172 = 2√43. Высота грани ВМС = √(6² + Н²) = √(36 + 108) = √144 = 12. Получаем ответ: - площадь грани МВС = (1/2)*16*12 = 96. - площадь боковой поверхности конуса равна πR√(R² + H²) = (40√13)*π.
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(4,1,-1) А2(1,4,-1) А3(0,1,3) А4(-2,0,0) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А 1А 2А3.
Находим векторы А1А2 и А1А3.
A1А2 = {А2x – A1x; А2y – A1y; А2z – A1z} = {1 - 4; 4 - 1; -1 – (-1)} = {-3; 3; 0},
A1А3 = {А3x – A1x; А3y – A1y; А3z – A1z} = {0 - 4; 1 - 1; 3 – (-1)} = {-4; 0; 4}.
Их векторное произведение равно:
I j k| I j
-3 3 0| -3 3
-4 0 4| -4 0 = 12i + 0j + 0k + 12j – 0i + 12k = 12i + 12j + 12k.
Площадь треугольникаА1А2А3 равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.
S = (1/2) √(12² + 12² + 12²) = (1/2)√(144 + 144 + 144) = (1/2)√432 = 12√3/2 = 6√3.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (A1А2xA1А3)*A1А4.
Произведение векторов (A1А2xA1А3) найдено выше и равно (12; 12; 12).
Находим вектор A1А4.
A1А4 = {А4x – A1x; А4y – A1y; А4z – A1z} = {-2 - 4; 0 - 1; 0 – (-1)} = {-6; -1; 1}.
(A1А2xA1А3) = 12 12 12
A1А4 = -6 -1 1
-72 + -12 + 12 = -72.
V = (1/6)*|-72| = 12.
Длину высоты H, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
находим по формуле H = 3V/S(A1A2A3).
Подставим данные: H = 3*12/(6√3) = 2√3 ≈ 3,4641.