Question

На рисунке изображён график функции вида y = ax^2+bx+c, где числа a, b и с - целые. Найдите у(-19).

Answer 1

Данная функция является квадратичной, и ее график — это парабола.

Сперва нужно определить коэффициенты а, b и c в формуле функции.

Формула абсциссы вершины параболы:

$x =\frac{-b}{2a}$

По графику видим, что абсцисса вершины равна 4.  

Значит, $\frac{-b}{2a}=4$.

Выберем две точки с целочисленными координатами, принадлежащие параболе.

Возьмем вершину, т. А (4; 1) и т. В (2; -3).

Подставим координаты точек в формулу функции: абсциссу вместо х, а ординату вместо у.

Получаем два уравнения:

1) $a\cdot4^2+b\cdot 4 + c = 1$

$16a+4b + c = 1$

2) $a\cdot2^2+b\cdot 2 + c = -3$

$4a+2b + c = -3$

Составим систему уравнений:

$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{-b}{2a}=4, \\ 16a+4b + c = 1, \\ 4a+2b + c = -3. \end{cases}\end{equation*}$

Из первого уравнения выразим коэффициент b.

Сперва умножим обе части уравнения на знаменатель дроби:

$\frac{-b}{2a}=4 \ \ \ |\cdot 2a$

$-b = 8a$

Теперь умножим обе части на -1:

$-b = 8a\ \ \ |\cdot -1$

$b = -8a$

Из второго уравнения вычтем третье, чтобы избавиться от коэффициента c. Отдельно вычитаем левые, отдельно правые части:

$(16a+4b+c)-(4a+2b+c)=1-(-3)$

Раскроем скобки:

$16a+4b+c-4a-2b-c=1+3$

Приведем подобные слагаемые:

$12a+2b=4$

Разделим обе части уравнения на 2 для удобства:

$6a+b=2$

Подставим значение коэффициента b:

$6a+(-8a)=2$

$6a-8a=2$

$-2a=2$

$a = 2 : (-2)$

$a = -1$

Теперь найдем коэффициент b, подставив найденное значение коэффициента а в уравнение $b = -8a$:

$b = -8 \cdot(-1) = 8$

Подставим значения коэффициентов а и b в третье уравнение системы, чтобы найти коэффициент с:

$4\cdot (-1)+2\cdot 8 + c = -3$

$-4 + 16 + c = -3$

$c = -3 + 4 - 16$

$c = -15$

Подставим найденные коэффициенты в формулу функции:

у = -х² + 8х - 15

Чтобы найти у(-19), подставим число -19 вместо аргумента:

$y(-19) = - (-19)^2+8\cdot (-19) - 15 =-361-152-15=-528$

ответ: -528.