Question

Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ трапеции, ограниченной линиями

у=0, х=0, х=6.

$y = \frac{x}{2} + 4$

Answer 1

Для вычисления объема тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OX, мы должны использовать метод цилиндра.

Шаг 1: Найдите функцию, определяющую верхнюю границу трапеции. В данном случае, нам дано уравнение прямой y = (1/2)x + 4.

Шаг 2: Найдите точки пересечения трапеции с осями. В данном случае, трапеция пересекает ось OX в точках (0,0) и (6,0).

Шаг 3: Найдите интеграл функции (1/2)x + 4, взятый между x=0 и x=6. Интеграл функции позволяет нам найти площадь поверхности вращения трапеции вокруг оси OX.

Интеграл функции (1/2)x + 4 можно вычислить следующим образом:

∫[(1/2)x + 4] dx

= (1/4)x^2 + 4x + C

где С - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Подставьте значения верхней и нижней границы интеграла.

При подстановке верхней границы x=6 получим:

(1/4)(6^2) + 4(6) + C

= (1/4)(36) + 24 + C

= 9 + 24 + C

= 33 + C

При подстановке нижней границы x=0 получим:

(1/4)(0^2) + 4(0) + C

= 0 + 0 + C

= C

Шаг 5: Найдите разность значений функции интеграла (∫[(1/2)x + 4] dx) при верхней и нижней границах.

Таким образом, объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OX, можно найти как разность площадей поверхностей, полученных при вращении функции (1/2)x + 4 от x=0 до x=6:

V = 33 + C - C = 33.

Ответ: Объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OX, равен 33 кубическим единицам.