Question

Решить задачу коши для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
1)y'-1=e^x ; x=0; y=1
2)y'+8x^3y=0; x=0; y=5

Answer 1

1)$y=e^x+x$

2)$\displaystyle y=\frac{5}{e^{2x^4}}$

Пошаговое объяснение:

1)

$y'-1=e^x\\y'=e^x+1\\\frac{dy}{dx} =e^x+1$

$dy=(e^x+1)dx$

Интегрируем правую и левую часть

$\int dy=\int(e^x+1)dx\\y=e^x+x+C$

Решаем задачу Коши:x=0; y=1  

$1=e^0+0+C\\1=1+C\\C=0$

ОТВЕТ

$y=e^x+x$

2)

$y'+8x^3y=0$

(А не $y'+8x^{3y}=0$ так как это не дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися  переменными)

$\displaystyle y'=-8x^3y\\\frac{dy}{dx} =-8x^3y |*\frac{dx}{y} \\\frac{dy}{y} =-8x^3dx\\$

Интегрируем правую и левую часть

$\int\frac{dy}{y} =\int-8x^3dx$

Для удобства пишем свободный  член  lnC

$lny =-2x^4+lnC\\$

Экспоненцируем

$\displaystyle y=Ce^{-2x^4}y=\frac{C}{e^{2x^4}}\\$

Решаем задачу Коши:x=0; y=5

$\displaystyle 5=\frac{C}{e^{2*0^4}}5=\frac{C}{1}C=5$

ОТВЕТ

$\displaystyle y=\frac{5}{e^{2x^4}}$