Question

Даны векторы a=αm+βn и b=γm+δn, где |m|=k; |n|=l; (m,n)=φ. Найти а) (λa+μb)(νa+τb); б) пр(νa+τb); в)cos(a,τb) 1.4 α = 5, β = 2, γ = -6, δ = -4, k = 3, l = 2, φ =5π/3, λ = -1, μ = 1/2, ν = 2, τ = 3

Answer 1

Для начала, вычислим значения векторов a и b, используя заданные значения:

a = αm + βn = 5m + 2n
b = γm + δn = -6m - 4n

а) Найдем значение выражения (λa + μb)(νa + τb):

(λa + μb)(νa + τb) = (λ(5m + 2n) + μ(-6m - 4n))(ν(5m + 2n) + τ(-6m - 4n))

= (λ(5m) + λ(2n) + μ(-6m) + μ(-4n))(ν(5m) + ν(2n) + τ(-6m) + τ(-4n))

= (5λm + 2λn - 6μm - 4μn)(5νm + 2νn - 6τm - 4τn)

= 5^2λνmm + 5^2λνmn + 5^2λνnm + 5^2λνnn + 2^2λνmm + 2^2λνmn + 2^2λνnm + 2^2λνnn
- 6^2μτmm - 6^2μτmn - 6^2μτnm - 6^2μτnn - 4^2μτmm - 4^2μτmn - 4^2μτnm - 4^2μτnn

= 25λνm^2 + 10λνmn + 10λνnm + 4λνn^2 - 36μτm^2 - 12μτmn - 12μτnm - 16μτn^2

б) Найдем значение проекции пр(νa + τb):

Проекция вектора νa + τb на вектор m вычисляется по формуле:

пр(νa + τb) = (νa + τb, m) / |m|

(νa + τb, m) = (ν(5m + 2n) + τ(-6m - 4n), m)

= ν(5m, m) + ν(2n, m) + τ(-6m, m) + τ(-4n, m)

Так как m и n ортогональны (m, n) = φ, то второе и четвертое слагаемые будут равны нулю:

= ν(5m, m) + 0 + τ(-6m, m) + 0

= 5ν|m|^2 - 6τ|m|^2

пр(νa + τb) = (5ν - 6τ)|m|^2 / |m| = (5ν - 6τ)k

в) Найдем значение cos(a,τb):

cos(a,τb) = (a,τb) / (|a||τb|)

(a,τb) = (5m + 2n, -6τm - 4τn)

= 5(-6τ)(m, m) + 5(-6τ)(m, n) + 2(-4τ)(n, m) + 2(-4τ)(n, n)

Так как (m, n) = φ, то второе и третье слагаемые будут равны нулю:

= 5(-6τ)(m, m) + 0 + 0 + 2(-4τ)(n, n)

= -30τ|m|^2 - 8τ|n|^2

|a| = √(α^2|m|^2 + β^2|n|^2) = √(5^2k^2 + 2^2l^2) = √(25k^2 + 4l^2)
|τb| = √(γ^2|m|^2 + δ^2|n|^2) = √((-6)^2k^2 + (-4)^2l^2) = √(36k^2 + 16l^2)

cos(a,τb) = (-30τ|m|^2 - 8τ|n|^2) / (√(25k^2 + 4l^2) * √(36k^2 + 16l^2))