Найти формулу общего члена последовательности (an ) , заданной рекуррентным соотношением и начальными членами: (а)an+2=10an+1 –9an;a0=1,a1=0. (б)an+2=10an+1 –25an;a0=0,a1=-2. (в)an+2=10an+1 –26an;a0=a1=1.
(а)an+2=4an+1 +5an;a0=-1,a1=0. (б)an+2=4an+1 –4an;a0=1,a1=-2. (в)an+2=4an+1 –5an;a0=0,a1=2.
(а)an+2=3an+1 +10an;a0=-1,a1=1.
(б)an+2= 4an+1 –4an;a0=1,a1=0. (в)an+2=2an+1 –2an;a0=1,a1=2.
(а)an+2=–an+1 +2an;a0=-1,a1=2. (б)an+2=8an+1 –16an;a0=1,a1=1.
(в) an+2 = 8an+1 – 17an; a0 = 0, a1 = 1.
Давайте рассмотрим каждую задачу по-отдельности:
а) an+2 = 10an+1 - 9an, a0 = 1, a1 = 0
Для начала, заметим, что это линейное однородное рекуррентное соотношение второго порядка, так как в нем отсутствуют свободные члены. Чтобы найти формулу общего члена последовательности, решим характеристическое уравнение:
r^2 - 10r + 9 = 0
Факторизуем его как (r-1)(r-9) = 0
То есть, r1 = 1 и r2 = 9.
Так как у нас есть два различных корня, общее решение будет иметь вид:
an = C1 * r1^n + C2 * r2^n,
где C1 и C2 - произвольные константы, которые нужно найти, а r1 и r2 - найденные корни.
Подставим начальные члены a0 = 1 и a1 = 0 в полученную формулу:
a0 = C1 * r1^0 + C2 * r2^0 = C1 + C2 = 1,
a1 = C1 * r1^1 + C2 * r2^1 = C1 * r1 + C2 * r2 = 0.
Теперь можем решить систему уравнений:
C1 + C2 = 1,
C1 * r1 + C2 * r2 = 0.
Из первого уравнения найдем C1 = 1 - C2 и подставим во второе уравнение:
(1 - C2) * r1 + C2 * r2 = 0.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
r1 - C2 * r1 + C2 * r2 = 0,
C2 * (r2 - r1) = -r1,
C2 = -r1 / (r2 - r1).
Теперь найдя C2, можем найти C1:
C1 = 1 - C2.
Итак, формула общего члена последовательности будет иметь вид:
an = (1 - C2) * r1^n + C2 * r2^n.
Подставим найденные значения:
an = (1 - (-r1 / (r2 - r1))) * r1^n + (-r1 / (r2 - r1)) * r2^n.
Где r1 = 1 и r2 = 9.
б) an+2 = 10an+1 - 25an, a0 = 0, a1 = -2
Аналогично предыдущей задаче, заметим, что это линейное однородное рекуррентное соотношение второго порядка без свободных членов. Найдем решение, используя те же шаги:
1. Решим характеристическое уравнение:
r^2 - 10r + 25 = 0.
Факторизуем его как (r-5)^2 = 0.
То есть, r = 5 - двукратный корень.
2. Общее решение будет иметь вид:
an = (C1 + C2 * n) * r^n.
Подставим начальные члены a0 = 0 и a1 = -2:
a0 = (C1 + C2 * 0) * r^0 = C1 = 0,
a1 = (C1 + C2 * 1) * r^1 = C1 * r + C2 * r = -2.
Теперь решим систему уравнений:
C1 = 0,
C1 * r + C2 * r = -2.
Решением будет являться C1 = 0 и C2 = -2 / r.
Итак, формула общего члена последовательности будет иметь вид:
an = (0 + (-2 / r) * n) * r^n.
Где r = 5.
в) an+2 = 10an+1 - 26an, a0 = a1 = 1
Проведем те же шаги:
1. Решим характеристическое уравнение:
r^2 - 10r + 26 = 0.
Данное квадратное уравнение не имеет рациональных корней. Чтобы найти корни, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 26 = 100 - 104 = -4.
Так как дискриминант отрицательный, характеристическое уравнение имеет комплексные корни:
r1 = (10 + sqrt(-4)) / 2 = 5 + i,
r2 = (10 - sqrt(-4)) / 2 = 5 - i.
2. Общее решение будет иметь вид:
an = (C1 + C2 * n) * r1^n.
Подставим начальные члены a0 = 1 и a1 = 1:
a0 = (C1 + C2 * 0) * r1^0 = C1 = 1,
a1 = (C1 + C2 * 1) * r1^1 = C1 * r1 + C2 * r1 = 1.
Теперь решим систему уравнений:
C1 = 1,
C1 * r1 + C2 * r1 = 1.
Решением будет являться C1 = 1 и C2 = (1 - C1) / r1.
Итак, формула общего члена последовательности будет иметь вид:
an = (1 + (1 - 1) / r1 * n) * r1^n.
Где r1 = 5 + i.
Теперь рассмотрим оставшиеся задачи:
а) an+2 = 4an+1 + 5an, a0 = -1, a1 = 0
б) an+2 = 4an+1 - 4an, a0 = 1, a1 = -2
в) an+2 = 4an+1 - 5an, a0 = 0, a1 = 2
а) an+2 = 3an+1 + 10an, a0 = -1, a1 = 1
б) an+2 = 4an+1 - 4an, a0 = 1, a1 = 0
в) an+2 = 2an+1 - 2an, a0 = 1, a1 = 2
а) an+2 = -an+1 + 2an, a0 = -1, a1 = 2
б) an+2 = 8an+1 - 16an, a0 = 1, a1 = 1
в) an+2 = 8an+1 - 17an, a0 = 0, a1 = 1.
Для того чтобы найти формулу общего члена для каждой из этих последовательностей, нужно повторить алгоритм, описанный выше, для каждой задачи.
Обратите внимание, что для каждой задачи генерируются разные характеристические уравнения и соответственно разные формулы общего члена.
Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, как найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением и начальными членами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.