Question

Математический анализ, двойные интегралы может кто то решит

Answer 1

а) $\displaystyle V= \iiint\limits_{\Omega}dxdydz$. В нашем случае $y$ меняется от $0$ до $2$, $x$ меняется от $0$ до $3$, а $z$ заключен между $0$ и $\sqrt{x^2+y^2}$. По сути $\Omega$ можно представлять себе как множество отрезков высоты $\sqrt{x^2+y^2}$ выпущенных из точки $(x,y,0)$, причем эти точки берутся из прямоугольника $[0,2]\times [0,3]$.

Итак, $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{x^2+y^2}dzdydx = \int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}x^2+y^2 dydx = \int\limits_{0}^{3}2x^2+8/3dx=26$.

б) Здесь рассуждения такие же, только $\Omega$ представляет собой не прямоугольник, а область, ограниченную двумя <<перпендикулярными>> параболами на плоскости $xy$. Величина $z$ будет меняться от $12$ до минимального значения на $\Omega$, что соответствует максимуму $x^2+y^2$ на $\Omega$ -- то есть макисмальному удалению от начала координат. Это происходит в точке пересечения парабол -- точке $(1,1)$ (а начало координат не подходит). Значит, $12-x^2-y^2\geq z \geq 10$. Итого: $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}\int\limits_{10}^{12-x^2-y^2}dzdydx = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}2-x^2-y^2 dydx =52/105$.

в) Здесь удобно сделать замену координат: $x=\rho\cos \theta,\; y=\rho\sin\theta,\; z=z$, тогда поверхности: $z = \rho,\; z= 0$. Якобиан $J = \rho$, имеем: $\displaystyle V = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\rho}\rho dzd\theta d\rho = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2\pi}\rho^2 d\theta d\rho = 2\pi\int\limits_{0}^{a}\rho^2d\rho = \dfrac{2\pi a^3}{3}$.