Question

Докажите, что для любого натурального n существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в 1111 раз. {↓}

n

Answer 1

Л е м м а: Пусть $S(n)$ -- сумма цифр числа $n$. Тогда $S(\underbrace{99\ldots9}_{k}\cdot t) = S(\underbrace{99\ldots9}_{k}) = 9k$, если длина $t$ не превосходит $n$. Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число $\underbrace{99\ldots9}_{k}$ как $10^{k}-1$, а разность $t\cdot10^{k} - t$ считаем в столбик, учитывая перенос единицы.

Теперь пусть дано число $\underbrace{11\ldots1}_{n}$. Возьмем число $\underbrace{99\ldots9}_{n}$, тогда его частное с первым числом равно $9$. Умножим в таком случае $\underbrace{99\ldots9}_{n}$ на $n$. Длина числа $n$ меньше $n$ для всех $n$, кроме $1$ (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме $\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)$.