Обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m совпадают, т.е. числа n и m эквивалентны по модулю 10.
N = 12^2003 + 26^2003 + 38^2003 ~ 2^2003 + 6^2003 + 8^2003 = 2^2003 + (2^2003)(3^2003) + (2^2003)(2^2003)(2^2003) = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003))
Составим таблицу 2^n:
n Значение Последняя цифра
0 2^0 = 1 1
1 2^1 = 2 2
2 2^2 = 4 4
3 2^3 = 8 8
4 2^4 = 16 6
5 2^5 = 32 2
6 2^6 = 64 4
7 2^7 = 128 8
8 2^8 = 256 6
...
Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. Период равен 4.
Последняя цифра числа 2^n равна:
1: n = 0
4: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...
8: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...
6: n = 4k, где k = 1,2,3,...
Отсюда находим, что 2^2003 = (2^2000)*(2^3) = (2^(500*4))*(2^3) ~ 6*8 = 48 ~ 8
Составим таблицу 3^n:
n Значение Последняя цифра
0 3^0 = 1 1
1 3^1 = 3 3
2 3^2 = 9 9
3 3^3 = 27 7
4 3^4 = 81 1
5 3^5 = 243 3
6 3^6 = 729 9
7 3^7 = 2187 7
8 3^8 = 6561 1
...
Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. Период равен 4.
Последняя цифра числа 3^n равна:
1: n = 4k, где k = 0,1,2,3,...
3: n = 4k + 1, где k = 0,1,2,3,...
9: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...
7: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...
Находим, что 3^2003 = (3^2000)*(3^3) = (3^(500*4))*(3^3) ~ 1*7 = 7
Итак, N = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003)) ~ 8(1 + 7 + 8*8) = 8 + 8*7 + 8*8*8 = 8 + 56 + 512 ~ 8 + 6 + 2 = 16 ~ 6
ответ: последней цифрой нашего числа будет 6.
Замечание: Разница между предложенным Вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. Я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.
Пошаговое объяснение:
2)6км/800= 3/400 ответ: В) 3 : 400
4) 22,5:x=45:6
45х= 22,5 * 6
45х=135
х= 135 : 45
х= 3
6) 3 ч 20 мин = 3 1/3 ч
72 * 3 1/3= 72* 10/3= 240 км проехала машина за 3ч 20 мин
2ч 40 мин= 2 2/3 ч
240 : 2 2/3= 240 : 8/3= 240 * 3/8= 90 км/ч ответ: С) 90 км/ч
8) 200 * 50 = 10000 см = 100м одна сторона сторона
200* 60= 12000 см= 120 м другая сторона
100 * 120=12000 м2= 1,2 га (1 га - 10000м2) ответ А) 1,2га