Question

Математика задача 9
Сколькими нулями оканчивается сумма 2022!+2023!+2024!+…+9999! ?

Answer 1

Вынесем общий множитель за скобку: $2022!(1+2023+2023\cdot 2024+\ldots+2023\cdot\ldots\cdot9999)$. Еще вынесем: $2022!\cdot 2024(1+2023+2023\cdot 2025 + 2023\cdot 2025\cdot 2026+\ldots)$. Теперь видно, что слагаемые дальше $2023\cdot 2025$ делятся на $10$. Сумма первых трех оканчивается на $9$, а потому взаимно проста с десятью. Следовательно, сумма оканчивается на то количество нулей, на которое оканчивается $2022!\cdot 2024$. Двоек в $2022!$: $\nu_{2}(2022!) = [2022/2]+[2022/2^2]+\ldots = 1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014$, а пятерок: $\nu_{5}(2022!) = [2022/5]+[2022/25]+\ldots = 404+80+16+3=503$. Значит сумма есть $2^{2014}\cdot 5^{503} \cdot 2^{3}\cdot t = 2^{2017}\cdot 5^{503}\cdot t$, где $t$ взаимно просто с $10$. Тогда сумма оканчивается на $503$ нуля.