Question

опрелелите вид треугольника авс, если а(4;2) , b(0;6) c(3;9)

Answer 1

Найдём длину каждой стороны этого треугольника.

$A(4;\,2)\\B(0;\,6)\\C(3;\,9)AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}= \sqrt{\left(0 - 4\right)^2 + \left(6 - 2\right)^2} = \sqrt{\left(-4\right)^2 + 4^2} == \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \boldsymbol{4\sqrt{2}}BC = \sqrt{\left(x_C - x_B\right)^2 + \left(y_C - y_B\right)^2} = \sqrt{\left(3 - 0\right)^2 + \left(9-6\right)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} == \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = \boldsymbol{3\sqrt{2}}$

$AC = \sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2 + \left(y_C - y_A\right)^2} = \sqrt{\left(3 - 4\right)^2 + \left(9 - 2\right)^2} = \sqrt{\left(-1\right)^2 + 7^2} == \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = \boldsymbol{5\sqrt{2}}$

Чтобы определить вид треугольника, нам надо определить вид наибольшего угла этого треугольника. Наибольший угол в треугольнике всегда лежит напротив его наибольшей стороны, поэтому расписываем теорему косинусов для стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B = AB^2 + BC^2 - AC^2cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} = \dfrac{32 + 18 - 50}{2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}} = \dfrac{0}{48} = 0$

Если косинус $\angle B$ равен 0, значит, этот угол прямой. Отсюда делаем вывод, что треугольник с заданными точками является прямоугольным.

ответ: $\bigtriangleup ABC$ - прямоугольный.