Question

Даны векторы a, b, c. Показать, что векторы a и b образуют базис. Разложить вектор c по векторам a и b

Answer 1

$c = 2a+b$

Пошаговое объяснение:

Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:

$\alpha a+\beta b=0$

$\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0 \end{array}\right]$

где $\alpha , \beta$ - числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.

Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:

$\alpha a+\beta b=c$

$\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]$

Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:

$E*\left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]$

Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).

$\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]* \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right]$

Итак,

$\alpha =2, \beta =1.$

Значит, $c = 2a+b$.

Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа:

$2a+b = 2*(3;5)+(1;-7) = (6;10)+(1;-7) = (7;3) = c.$