Question

Найти уравнение касательной к данной кривой y=f(x)в точке x=x0. ответ представить в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом y=k⋅x+b.

y=sin(2x)+xcos(3x)+1,x0=0

Answer 1

Для нахождения уравнения касательной к данной кривой в точке x=x0, мы должны найти производную функции y=f(x) и подставить в нее значение x=x0, чтобы получить угловой коэффициент касательной.

Итак, дано уравнение кривой y = sin(2x) + xcos(3x) + 1, и нам нужно найти уравнение касательной в точке x=x0=0.

Шаг 1: Найдем производную функции y=f(x).
По правилам дифференцирования синуса, косинуса и произведения функций, получим:
y' = 2cos(2x) + cos(3x) - 3xsin(3x) + cos(2x) = 3cos(2x) + cos(3x) - 3xsin(3x)

Шаг 2: Найдем значение производной в точке x=x0=0.
Подставим x=0 в выражение для производной, получим:
y'(0) = 3cos(2*0) + cos(3*0) - 3*0*sin(3*0) = 3cos(0) + cos(0) - 0 = 3*1 + 1 - 0 = 4

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен k=4.

Шаг 3: Найдем значение y в точке x=x0=0.
Подставим x=0 в уравнение кривой, получим:
y(0) = sin(2*0) + 0*cos(3*0) + 1 = sin(0) + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Таким образом, значение y в точке x=x0=0 равно y=1.

Шаг 4: Используем уравнение прямой y = k*x + b для нахождения b.
Подставим известные значения k=4 и точку (x0=0, y=1), получим:
1 = 4*0 + b
1 = b

Таким образом, b=1.

Шаг 5: В итоге, мы получили уравнение касательной:
y = 4x + 1