Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка, надо подробное решение))

Answer 1

(Метод Лагранжа).

$y'+y=\cos{x};y'+y=0; \frac{dy}{dx} =-y; \frac{dy}{y}=-dx; \int{\frac{dy}{y} }=-\int{dx}; \ln|y|=-x+C;ln|y|=\ln{e^{-x}}+\ln{C}; \ln{y}=\ln{Ce^{-x}}; y=Ce^{-x}$

Произвольную постоянную примем за функцию от $x$.

$y=C(x)e^{-x}; y'=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}.$

Подставим $y$ и $y'$ в исходное уравнение:

$C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=\cos{x}; C'(x)e^{-x}=\cos{x}; \frac{d(C(x))}{dx}=\frac{\cos{x}}{e^{-x}}d(C(x))=\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}; \int{d(C(x))=\int{\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}}; C(x)=\int{\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}};$

Отдельно найдем полученный неопределенный интеграл:

$\int\frac{\cos{x}dx}{e^{-x}}=\int{e^x\cos{x}}dx;int{e^x\cos{x}}dx=\left[u=e^x; du=e^xdx\atop dv=\cos{x}dx;v=\sin{x}\right]=e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}dx.}int{e^x\sin{x}dx=\left[u=e^x; du=e^xdx\atop dv=\sin{x}dx;v=-\cos{x}\right]=-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}}dx.$

Отсюда получаем что:

$\int{e^x\cos{x}}dx=e^x\sin{x}-(-e^x\cos{x}+\int{e^x\cos{x}dx});2\int{e^x\cos{x}}dx=e^x\sin{x}+e^x\cos{x}int{e^x\cos{x}}dx=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2$

Отсюда получаем что:

$C(x)=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2$

Теперь подставим в формулу $y=C(x)e^{-x}$:

$y=\frac{1}{e^x}\Big(\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C_2 \Big) =\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x}) +e^{-x}C_2$

В итоге окончательно получаем:

$\boxed{y=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x}}$

(Метод Бернулли)

$y'+y=\cos{x}$

Пусть $y=uv; y'=u'v+uv'$ тогда:

$u'v+uv'+uv=\cos{x}; u'v+u(v'+v)=\cos{x}$ потребуем, чтобы $v'+v=0$ тогда:

$\frac{dv}{dx}+u=0;\frac{dv}{v}=-dx; \int{\frac{dv}{v} }=-\int{dx};\ln{v}=-x \Rightarrow v=e^{-x}$

Подставим найденное значение $v$ в $u'v+u(v'+v)=\cos{x}$:

$u'e^{-x}+u(e^{-x}-e^{-x})=\cos{x};u'=\frac{\cos{x}}{e^-x} \Rightarrow u=\int{e^x\cos{x}}dx$

В предыдущем данный интеграл был найден методом интегрирования по частям, поэтому не будет здесь его искать а просто подставим уже найденный.

$u=\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C$ но $y=uv$ тогда:

$y=e^{-x}(\frac{e^x}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C )=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x}$ Отсюда получаем:

$\boxed{y=\frac{1}{2}(\sin{x}+\cos{x})+Ce^{-x} }$